2.बहुपद 2.1 to 2.2

2.बहुपद

NCERT अभ्यास 2.1

किसी बहुपद $p\left(x\right)$ के लिये $y=p\left(x\right)$ का ग्राफ नीचे दी गई आकृति में दिया है। प्रत्येक स्थिति में $p\left(x\right)$ के शून्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए।

प्रश्न (1)

उत्तर: यह रेखा x एक्सिस को कहीं भी नहीं काटती है, इसलिये शून्यकों की संख्या = 0

प्रश्न (2)

उत्तर: यह रेखा x एक्सिस को एक बार काटती है, इसलिये शून्यकों की संख्या = 1

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प्रश्न (3)

उत्तर: यह रेखा x एक्सिस को दो बार काटती है, इसलिये शून्यकों की संख्या = 2

प्रश्न (4)

उत्तर: यह रेखा x एक्सिस को दो बार काटती है, इसलिये शून्यकों की संख्या = 2

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प्रश्न (5)

उत्तर: यह रेखा x एक्सिस को 4 बार काटती है, इसलिये शून्यकों की संख्या = 4

प्रश्न (6)

NCERT अभ्यास 2.2

प्रश्न 1: निम्न द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।

(i) $x^2–2x–8$

उत्तर: $x^2–2x–8=0$
Or, $x^2–4x+2x–8=0$
Or, $x(x–4)+2(x–4)=0$
Or, $(x+2)(x–4)=0$

इसलिये शून्यक = -2 और 4

हम जानते हैं कि शून्यक का योग $=-\frac{b}{a}$
या, $-2+4=-(-2)$
या, LHS = RHS

हम जानते हैं कि शून्यक का गुणनफल $=\frac{c}{a}$
या, $-2x4=-8$

शून्यकों के योग और गुणनफल से शून्यकों और गुणांकों के बीच का संबंध सत्यापित हुआ।

(ii) $4s^2–4s+1$

उत्तर: $4s^2–4s+1=0$
या, $4s^2–2s–2s+1=0$
या, $4s(s–\frac{1}{2})–2(s–\frac{1}{2})=0$
या, $(4s–2)(s–\frac{1}{2})=0$
इसलिये शून्यक $=\frac{1}{2}$

हम जानते हैं कि शून्यकों का योग $=-\frac{b}{a}$
या, $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=-(-\frac{4}{4})$
या, $1=1$

हम जानते हैं कि शून्यकों का गुणनफल $=\frac{c}{a}$
या, $\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

शून्यकों के योग और गुणनफल से शून्यकों और गुणांकों के बीच का संबंध सत्यापित हुआ।

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(iii) $6x^2–3–7x$

उत्तर: $6x^2–7x–3=0$
या, $6x^2-9x+2x–3=0$
या, $3x(2x–3)+1(2x–3)=0$
या, $(3x+1)(2x–3)=0$
इसलिये शून्यक $=-\frac{1}{3}$ and $\frac{3}{2}$

हम जानते हैं कि शून्यकों का योग $=-\frac{b}{a}$

या, $-\frac{1}{3}+\frac{3}{2}=\frac{7}{6}$

या, $\frac{-2+8}{6}=\frac{7}{6}$

हम जानते हैं कि शून्यकों का गुणनफल $=\frac{c}{a}$

या, $-\frac{1}{3}\times \frac{3}{2}=-\frac{3}{6}$

शून्यकों के योग और गुणनफल से शून्यकों और गुणांकों के बीच का संबंध सत्यापित हुआ।

(iv) $4u^2+8u$

उत्तर: $4u^2+8u=0$
या, $u^2+2u=0$
या, $u(u+2)=0$
इसलिए शून्यक = 0 and – 2

हम जानते हैं कि शून्यकों का योग $=-\frac{b}{a}$
या, $0–2=-2$

हम जानते हैं कि शून्यकों का गुणनफल $=\frac{c}{a}$
या, $0\times (-2)=0$

शून्यकों के योग और गुणनफल से शून्यकों और गुणांकों के बीच का संबंध सत्यापित हुआ।

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(v) $t^2–15$

उत्तर: $t^2–15=0$
या, $t^2=15$
या, $t=\sqrt{15}$
इसलिए शून्यक $=\pm \sqrt{15}$

हम जानते हैं कि शून्यकों का योग $=-\frac{b}{a}$
या, $-\sqrt{15}+\sqrt{15}=0$

हम जानते हैं कि शून्यकों का गुणनफल $=\frac{c}{a}$
या, $\sqrt{15}\times \sqrt{15}=15$

शून्यकों के योग और गुणनफल से शून्यकों और गुणांकों के बीच का संबंध सत्यापित हुआ।

(vi) $3x^2–x–4$

उत्तर: $3x^2–x–4=0$
या, $3x^2+3x–4x–4=0$
या, $3x(x+1)–4(x+1)=0$
या, $(3x–4)(x+1)=0$
इसलिए शून्यक $=\frac{4}{3}$ and $–1$

हम जानते हैं कि शून्यकों का योग $=-\frac{b}{a}$

या, $\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}$

या, $\frac{4-3}{3}=\frac{1}{3}$

हम जानते हैं कि शून्यकों का गुणनफल $=\frac{c}{a}$

या, $\frac{4}{3}\times (-1)=-\frac{4}{3}$

शून्यकों के योग और गुणनफल से शून्यकों और गुणांकों के बीच का संबंध सत्यापित हुआ।

NCERT अभ्यास 2.2 Part 2

प्रश्न 2: एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमश: दी गई संख्याएँ हैं।

(i) $\frac{1}{4}$ , -1

उत्तर: किसी भी द्विघात समीकरण को नीचे दिये गये तरीके से लिखा जा सकता है।
$x^2$ – (शून्यकों का योग)$x$ + शून्यकों का गुणनफल

इसलिये दी गई संख्याओं के लिये द्विघात समीकरण निम्नलिखित है:

$x^2-\frac{1}{4}x-1$

$=4x^2-x-4$

(ii) $\sqrt{2}$, $\frac{1}{3}$

उत्तर: किसी भी द्विघात समीकरण को नीचे दिये गये तरीके से लिखा जा सकता है।
$x^2$ – (शून्यकों का योग)$x$ + शून्यकों का गुणनफल

इसलिये दी गई संख्याओं के लिये द्विघात समीकरण निम्नलिखित है:

$x^2-\sqrt{2}x+\frac{1}{3}$

$=3x^2-3\sqrt{2}x+1$

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(iii) 0, $\sqrt{5}$

उत्तर: किसी भी द्विघात समीकरण को नीचे दिये गये तरीके से लिखा जा सकता है।
$x^2$ – (शून्यकों का योग)$x$ + शून्यकों का गुणनफल

इसलिये दी गई संख्याओं के लिये द्विघात समीकरण निम्नलिखित है:
$x^2–(0+\sqrt{5})x+(0\times \sqrt{5})$
$=x^2–\sqrt{5}x$

(iv) 1, 1

उत्तर: किसी भी द्विघात समीकरण को नीचे दिये गये तरीके से लिखा जा सकता है।
$x^2$ – (शून्यकों का योग)$x$ + शून्यकों का गुणनफल

इसलिये दी गई संख्याओं के लिये द्विघात समीकरण निम्नलिखित है:
$x^2–x+1$

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(v) $–\frac{1}{4}$, $\frac{1}{4}$

उत्तर: किसी भी द्विघात समीकरण को नीचे दिये गये तरीके से लिखा जा सकता है।
$x^2$ – (शून्यकों का योग)$x$ + शून्यकों का गुणनफल

इसलिये दी गई संख्याओं के लिये द्विघात समीकरण निम्नलिखित है:

$x^2+\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}$

$=4x^2+x+1$

(vi) 4, 1

उत्तर: किसी भी द्विघात समीकरण को नीचे दिये गये तरीके से लिखा जा सकता है।
$x^2$ – (शून्यकों का योग)$x$ + शून्यकों का गुणनफल

इसलिये दी गई संख्याओं के लिये द्विघात समीकरण निम्नलिखित है:

$x^2–4x+1$