2.बहुपद अभ्यास 2.3 part-2

2.बहुपद

NCERT अभ्यास 2.3 Part 2

प्रश्न 3: $3x^4+6x^3–2x^2–10x–15$ के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि इसके दो शून्यक $\sqrt{\frac{5}{3}}$ और $-\sqrt{\frac{5}{3}}$ हैं।

उत्तर: किसी द्विघात बहुपद को नीचे दिये गये तरीके से लिखा जा सकता है।

$x^2$ – (शून्यकों का योग)$x$ + शून्यकों का गुणनफल
इसलिये दिये गये शून्यकों से निम्नलिखित द्विघात समीकरण बनता है:

$x^2-(\sqrt{\frac{5}{3}}-\sqrt{\frac{5}{3}})x+\sqrt{\frac{5}{3}}\times \sqrt{-\frac{5}{3}}$

$=x^2-\frac{5}{3}$

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इस बहुपद से दिये गये बहुपद को इस तरीके से भाग दिया जा सकता है।

इसलिए;
$3x^4+6x^3–2x^2–10x–5$
$=(3x^2–5)(x^2+2x+1)$

अब $x^2+2x+1$ के शून्यकों का पता इस तरह से लगाया जा सकता है:
$x^2+2x+1=0$
या, $x^2+x+x+1=0$
या, $x(x+1)+(x+1)=0$
या, $(x+1)(x+1)=0$
इसलिये शून्यक = - 1 और – 1

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प्रश्न 4: यदि $x^3–3x^2+x+2$ एक बहुपद को $g\left(x\right)$ से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमश: $x–2$ और $–2x+4$ हैं तो $g\left(x\right)$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: गिये गये बहुपद में से शेषफल को घटाने पर;
$x^3–3x^2+x+2–(-2x+4)$
$=x^3–3x^2+x+2+2x–4$
$=x^3–3x^2+3x–2$ …… (1)

समीकरण (1) को भागफल के दिये गये मान से भाग देने पर

इसलिये, $g\left(x\right)=x^2–x+1$

प्रश्न 5: बहुपदों $p\left(x\right)$, $g\left(x\right)$और $r\left(x\right)$ के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथ्म को संतुष्ट करते हों तथा
(i) घात $p\left(x\right)$ = घात $q\left(x\right)$
(ii) घात $q\left(x\right)$ = घात $r\left(x\right)$
(iii) घात $r\left(x\right)=0$

उत्तर: इन तीनों विकल्पों के कई उदाहरण हो सकते हैं। इनके एक एक उदाहरण इस प्रकार हैं:
(i) $p\left(x\right)=2x^2–2x+12$, $g\left(x\right)=2$, $q\left(x\right)=x^2–x+6$, $r\left(x\right)=0$
(ii) $p\left(x\right)=x^3+x^2+x+1$, $g\left(x\right)=x^2–1$, $q\left(x\right)=x+1$, $r\left(x\right)=2x+2$
(iii) $p\left(x\right)=x^3+2x^2–x+2$, $g\left(x\right)=x^2–1$, $q\left(x\right)=x+2$, $r\left(x\right)=4$