5.समांतर श्रेढ़ी 5.2 part-2

5.समांतर श्रेढ़ी

प्रश्न 15: n के किस मान के लिए, दोनों समांतर श्रेढ़ियों 63, 65, 67, … और 3, 10, 17, … के nवें पद बराबर होंगे?

उत्तर: पहले AP में: a = 63, d = 2
दूसरे AP में: a = 3, d = 7
प्रश्न के अनुसार;
$63+(n–1)2=3+(n–1)7$
$\Rightarrow 63–3+(n–1)2=(n–1)7$
$\Rightarrow 60+2n–2=7n–7$
$\Rightarrow 2n+58=7n–7$
$\Rightarrow 2n+58+7=7n$
$\Rightarrow 2n+65=7n$
$\Rightarrow 7n–2n=65$
$\Rightarrow 5n=65$
$\Rightarrow n=\frac{65}{5}=13$
इसलिए, अभीष्ट n का नम्बर = 13

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प्रश्न 16: वह A. P. ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।

उत्तर: दिया गया है; $a_3=16$ और $a_7–a_5=12$
$a_3=a+2d=16$
$a_5=a+4d$
$a_7=a+6d$

प्रश्न के अनुसार;
$a+6d–a–4d=12$
या, $2d=12$
या, $d=6$
तीसरे टर्म में d का मान रखने पर;
$a+2\times 12=16$
या, $a+24=16$
या, $a=16–24=-8$
इसलिए, इस AP निम्न तरीके से लिखा जा सकता है।
-8, 4, 16, 28, 40, ………..

प्रश्न 17: A. P.: 3, 8, 13, …. 253 में अंतिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।

उत्तर: a = 3, d = 5
अब, $253=a+(n+1)d$
⇒ $253=3+(n-1)\times 5$
⇒ $253=3+5n–5=–2$
⇒ $5n=253+2=255$
⇒ $n=\frac{255}{5}=51$

अंतिम से 20वाँ टर्म $=51–19=32$
$a_{32}=a+31d$
$=3+31\times 5$
$=3+155=158$
अभीष्ट टर्म = 158

प्रश्न 18: किसी A. P. के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10वें पदों का योग 44 है। इस A. P. के प्रथ्म तीन पद ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया गया है, a₈ + a₄ = 24 और a₁₀ + a₆ = 44
$a_8=a+7d$
$a_4=a+3d$

प्रश्न के अनुसार;
$a+7d+a+3d=24$
या, $2a+10d=24$
या, $a+5d=12$ …………(1)
$a_{10}=a+9d$
$a+9d+a+5d=44$
या, $2a+14d=44$
या, $a+7d=22$ ………….(2)

समीकरण (2) से समीकरण (1) को घटाने पर;
$a+7d–a–5d=22–12$
या, $2d=10$
या, $d=5$

अब समीकरण (1) में d का मान रखने पर;
$a+5\times 5=12$
या, $a+25=12$
या, $a=-13$
इसलिए, इस AP के पहले तीन टर्म हैं: – 13, – 8, – 3

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प्रश्न 19: सुब्बा राव ने 1995 में 5000 रु के मासिक वेतन पर कार्य प्रारंभ किया और प्रत्येक वर्ष 200 रु की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन 7000 रु हो गया?

उत्तर: दिया गया है, a = 5000, d = 200 और a_n = 7000
हम जानते हैं, $a_n=a+(n–1)d$
या, $7000=5000+(n–1)200$
या, $(n-1)200=7000–5000$
या, $(n–1)200=2000$
या, $n–1=10$
या, $n=11$
इसलिए, $1995+10=2005$
इसलिए, उसका वेतन 2005 में जाकर 7000 हो गया।

प्रश्न 20: रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में 50 रु की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत 17.5 रु बढ़ाती गई। यदि nवें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत 207.50 रु हो जाती है तो n ज्ञात कीजिए।

उत्तर: Here, a = 5, d = 1.75 और a_n = 20.75
हम जानते हैं, $a_n=a+(n-1)d$
या, $20.75=5+(n–1)1.75$
या, $(n–1)1.75=20.75–5$
या, $(n–1)1.75=15.75$
या, $n–1=\frac{15.75}{1.75}=9$
या, $n=10$