6.त्रिभुज 6.1

त्रिभुज

अभ्यास 6.1

1. कोष्ठकों में दिए शब्दों में से सही शब्दों का प्रयोग करते हुए, रिक्त स्थानों को भरिये:

1. सभी वृत्त .............होते हैं। (सर्वांगसम, समरूप)
2. सभी वर्ग ...........होते हैं। (समरूप, सर्वांगसम)
3. सभी .............त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु, समबाहु)
4. भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि उनके संगत कोण ..........हों तथा उनकी संगत भुजाएँ ........हों। (बराबर, समानुपाती)

उत्तर: (a) समरूप (b) समरूप (c) समबाहु (d) बराबर, समानुपाती

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2. निम्नलिखित युग्मों के दो भिन्न-भिन्न उदाहरण दीजिए: समरूप आकृतियाँ, ऐसी आकृतियाँ जो समरूप नहीं हैं।

उत्तर: समरूप आकृतियाँ (दो समबाहु त्रिभुज, दो वृत्त)
आकृतियाँ जो समरूप नहीं हैं (एक समलंब और एक आयत)

3. बताइए कि निम्नलिखित चतुर्भुज समरूप हैं या नहीं:

उत्तर: नहीं, क्योंकि दोनों चतुर्भुज की भुजाओं का अनुपात तो समान है लेकिन उनके संगत कोण बराबर नहीं हैं।

अभ्यास 6.2

1. आकृति (1) और (2) में DE||BC है। (1) में EC और (2) में AD ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहली आकृति में;
Δ ADE ≃ Δ ABC (क्योंकि DE || BC)
इसलिए; $\frac{AD}{DC}=\frac{AE}{EC}$

या, $\frac{1.5}{3}=\frac{1}{EC}$

या, $EC=\frac{3}{1.5}=2$ cm

इसी तरह, दूसरी आकृति में;
Δ ADE ≃ Δ ABC (क्योंकि DE || BC)

इसलिए; $\frac{AD}{DC}=\frac{AE}{EC}$

या, ($AD\frac{)}{7.2}=\frac{1.8}{5.4}$

या, $AD=\frac{1.8\times 7.2}{5.4}=2.4$ cm

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2. किसी Δ PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमश: बिंदु E और F स्थित हैं। निम्नलिखित में प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या EF||QR है।

a) PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm और FR = 2.4 cm

उत्तर: EF || QR होने के लिये, दी गई आकृति को निम्नलिखित शर्त पूरी करनी होगी;

$\frac{PE}{EQ}=\frac{PF}{FR}$

इस स्थिति में;

$\frac{PE}{EQ}=\frac{3.9}{3}=1.3$

$\frac{PF}{FR}=\frac{3.6}{2.4}=\frac{3}{2}$

यह स्पष्ट है;

$\frac{PE}{EQ}\ne \frac{PF}{FR}$

इसलिए; EF और QR समांतर नहीं हैं।

b) PE = 4 cm, QE= 4.5 cm, PF = 8 cm और RF = 9 cm

उत्तर: इस स्थिति में

$\frac{PE}{EQ}=\frac{4}{4.5}=\frac{8}{9}$

$\frac{PF}{FR}=\frac{8}{9}$

यह स्पष्ट है;

$\frac{PE}{EQ}=\frac{PF}{FR}$

इसलिए; EF || QR

c) PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm और PF = 0.36 cm

उत्तर: इस स्थिति में;

$\frac{PE}{EQ}=\frac{0.18}{1.28–0.18}$$=\frac{0.18}{1.10}=\frac{9}{55}$

$\frac{PF}{FR}=\frac{0.36}{2.56–0.36}$$=\frac{0.36}{2.20}=\frac{9}{55}$

यह स्पष्ट है;

$\frac{PE}{EQ}=\frac{PF}{FR}$

इसलिए; EF || QR

3. दी गई आकृति में यदि LM||CB और LN||CD हो तो सिद्ध कीजिए कि AM/AB = AN/AD है।

उत्तर: Δ ABC और Δ AML में;
Δ ABC ≃ Δ AML (क्योंकि ML || BC)

इसलिए; $\frac{AM}{AB}=\frac{AL}{AC}$

इसी तरह Δ ADC और Δ ANL में;

Δ ADC ≃ Δ ANL (क्योंकि NL || DC)

इसलिए; $\frac{AN}{AD}=\frac{AL}{AC}$

ऊपर के दो समीकरणों से;

$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AD}$