4.द्विघात समीकरण 4.3 part-1

4.द्विघात समीकरण

अभ्यास 4.3

प्रश्न 1: यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।

(a) $2x^2-7x+3=0$

उत्तर: मूल के अस्तित्व की जाँच:
हम जानते हैं;
$D=b^2-4ac$
$={(-7)}^2-4\times 2\times 3$
$=49–24=25$

चूँकि D > 0, इसलिए इस समीकरण के दो अलग-अलग मूल संभव हैं।

अब समीकरण $2x^2-7x+3=0$ को निम्न तरीके से लिखा जा सकता है।
$x^2-\frac{7}{2}x+\frac{3}{2}=0$
या, $x^2-2\times \frac{7}{4}x+\frac{3}{2}=0$
या, $x^2-2\times \frac{7}{4}x=-\frac{3}{2}$
या, $x^2-2\times \frac{7}{4}x+{\left(\frac{7}{4}\right)}^2={\left(\frac{7}{4}\right)}^2-\frac{3}{2}$

यदि, $x=a$ और $\frac{7}{4}=b$ को मान लें तो समीकरण के LHS को ${(a–b)}^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
${(x–\frac{7}{4})}^2=\frac{49}{16}–\frac{3}{2}$
या, ${(x–\frac{7}{4})}^2=\frac{49–24}{16}$
या, ${(x–\frac{7}{4})}^2=\frac{25}{16}$

केस 1:
या, $x–\frac{7}{4}=\frac{5}{4}$
या, $x=\frac{5}{4}+\frac{7}{4}=\frac{12}{4}=3$
केस 2:
या, $x–\frac{7}{4}=-\frac{5}{4}$
या, $x=-\frac{5}{4}+\frac{7}{4}$
या, $x=\frac{-5+7}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
या, $x=3$ और $x=\frac{1}{2}$

---

(b) $2x^2+x–4=0$

उत्तर: मूल के अस्तित्व की जाँच:
हम जानते हैं;
$D=b^2-4ac$
$=1^2-4\times 2\times (-4)$
$=1+32=33$
चूँकि D > 0, इसलिए इस समीकरण के दो अलग-अलग मूल संभव हैं।

दिए गए समीकरण को 2 से भाग देने पर हमें निम्न समीकरण मिलता है।
$x^2+\frac{x}{2}–2=0$
$x^2+2\times \frac{1}{4}x–2=0$
$x^2+2\times \frac{1}{4}x=2$
$x^2+2\times \frac{1}{4}x+{\left(\frac{1}{4}\right)}^2=2+{\left(\frac{1}{4}\right)}^2$

यदि $x=a$ और $\frac{1}{4}=b$ मान लें तो इस समीकरण को ${(a+b)}^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
${(x+\frac{1}{4})}^2=2+\frac{1}{16}$
${(x+\frac{1}{4})}^2=\frac{33}{16}$
$x+\frac{1}{4}=\pm \frac{\sqrt{33}}{4}$
केस 1: $x=\frac{\sqrt{33}}{4}–\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{33}–1}{4}$
केस 2: $x=-\frac{\sqrt{33}}{4}–\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{33}–1}{4}$

(c) $4x^2+4\sqrt{3}x+3=0$

उत्तर: मूल के अस्तित्व की जाँच
हम जानते हैं;
$D=b^2-4ac$
$={\left(4\sqrt{3}\right)}^2-4\times 4\times 3$
$=48–48=0$
चूँकि D = 0 है, इसलिए इस समीकरण के मूल संभव हैं।

दिए गए समीकरण को 4 से भाग देने पर निम्न समीकरण मिलता है।
$x^2+\sqrt{3}x+\frac{1}{4}=0$
$x^2+2\times \frac{\sqrt{3}}{2}x=-\frac{1}{4}$
$x^2+2\times \frac{\sqrt{3}}{2}x+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}$

इस समीकरण के LHS को ${(a+b)}^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
${(x+\frac{\sqrt{3}}{2})}^2=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0$
$x+\frac{\sqrt{3}}{2}=0$
$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

(d) $2x^2+x+4=0$

उत्तर: मूल के अस्तित्व की जाँच:
हम जानते हैं;
$D=b^2-4ac$
$=1^2-4\times 2\times 4$
$=1–32=-31$
चूँकि D < 0 है, इसलिए इस समीकरण के मूल संभव नहीं हैं।

प्रश्न 2: उपर्युक्त प्रश्न 1 में दिए गए द्विधात समीकरणों के मूल, द्विघाती सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए।

(a) $2x^2-7x+3=0$

उत्तर: यहाँ पर, a = 2, b = - 7 और c = 3 है।
अब, D का मान निम्न तरीके से निकाला जा सकता है।
$D=b^2-4ac$
$={(-7)}^2-4\times 2\times 3$
$=49–24=25$

अब मूलों का मान निम्न तरीके से निकाला जा सकता है।
$\alpha =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$
$=\frac{7+\sqrt{25}}{2\times 2}$
$=\frac{7+5}{4}=\frac{12}{4}=3$
β $=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$
$=\frac{7-\sqrt{25}}{2\times 2}$
$=\frac{7–5}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
इसलिए, मूलो के मान हैं; 3 और $\frac{1}{2}$

(b) $2x^2+x–4=0$

उत्तर: दिए गए समीकरण में a =2, b = 1 और c = -4
अब, D का मान निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;
$D=b^2-4ac$
$=1^2-4\times 2\times (-4)$
$=1+32=33$

अब, मूल का मान निम्न तरीके से निकाला जा सकता है।
$\alpha =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$
$=\frac{-1+\sqrt{33}}{4}$
$\beta =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$
$=\frac{-1-\sqrt{33}}{4}$

(c) $4x^2-4\sqrt{3}x+3=0$

उत्तर: दिए गए समीकरण में $a=4$, $b=4\sqrt{3}$ और $c=3$ है।
अब, D का मान निम्न तरीके से निकाला जा सकता है।
$D=b^2-4ac$
$={\left(4\sqrt{3}\right)}^2-4\times 4\times 3$
$=48–48=0$
अब, मूल का मान निम्न तरीके से निकाला जा सकता है।
$=-\frac{b}{2a}$
$=-\frac{4\sqrt{3}}{2\times 4}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

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प्रश्न 3: निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए:

(a) $x–\frac{1}{x}=3$, $x\ne 0$

उत्तर: $x–\frac{1}{x}=3$
$\frac{x^2-1}{x}=3$
$x^2-1=3x$
$x^2-3x–1=0$

इस समीकरण में a = 1, b = - 3 और c = - 1 है।
अब, D का मान निम्न तरीके से निकाला जा सकता है।
$D=b^2-4ac$
$={(-3)}^2-4\times 1\times (-1)$
$=9+4=13$
अब मूल का मान इस तरह से निकाला जा सकता है।
$\alpha =\frac{3+\sqrt{13}}{2}$
$\beta =\frac{3-\sqrt{13}}{2}$

(b) $\frac{1}{x+4}–\frac{1}{x–7}=\frac{11}{30}$, $x\ne -4$, 7

उत्तर: मूल का मान निम्न तरीके से निकाला जा सकता है।

$\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}$

या, $\frac{x-7-x-4}{(x+4)(x-7)}=\frac{11}{30}$

या, $\frac{-11}{(x+4)(x-7)=\frac{11}{30}}$

या, $\frac{x^2-7x+4x-28}{30}=-1$

या, $x^2-3x–28=-30$
या, $x^2-3x–28+30=0$
या, $x^2-3x+2=0$
या, $x^2-2x–x+2=0$
या, $x(x–2)–1(x–2)=0$
या, $(x–1)(x–2)=0$
इसलिए दिए गए समीकरण के मूल = 1 और 2।

द्विघात समीकरण

अभ्यास 4.3 Part 2

प्रश्न 4: 3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षों में) का व्युत्क्रम और अब से 5 वर्ष पश्चात आयु के व्युत्क्रम का योग 1/3 है। उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए कि रहमान की वर्तमान आयु = x
इसलिए 3 वर्ष पहले रहमान की आयु $=x–3$
आज से 5 वर्ष बाद रहमान की आयु $=x+5$

प्रश्न के अनुसार;

$\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{5}$

या, $\frac{x+5+x-3}{(x-3)(x+5)}=\frac{1}{3}$

या, $\frac{2x+2}{x^2+5x-3x-15}=\frac{1}{3}$

या, $6x+6=x^2+2x–15$
या, $x^2+2x–15–6x–6=0$
या, $x^2-4x–21=0$
या, $x^2-7x+3x–21=0$
या, $x(x–7)+3(x–7)=0$
या, $(x+3)(x–7)=0$
ऋणात्मक मान को हटाने से, रहमान की आयु = 7 वर्ष

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प्रश्न 5: एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है। यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता। उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए अंक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए कि गणित के अंक = x
इसलिए, अंग्रेजी के अंक $=30–x$
यदि वह गणित में 2 अंक अधिक लाती है, तो गणित के अंक $=x+2$
यदि वह अंग्रेजी में 3 अंक कम लाती है, तो अंग्रेजी के अंक $=30–x–3=27–x$

प्रश्न के अनुसार,
$(x+2)(27–x)=210$
या, $27x–x^2+54–2x=210$
या, $25x–x^2+54–210=0$
या, $25x–x^2–156=0$
या, $x^2–25x+156=0$
या, $x^2–12x–13x+156=0$
या, $x(x–12)–13(x–12)=0$
या, $(x–12)(x–13)=0$

इसलिए, $x=12$ और $x=13$
केस 1: यदि $x=13$, अंग्रेजी के अंक $=30–13=17$
केस 2: यदि $x=12$, तो अंग्रेजी के अंक $=30–12=18$
दोनों स्थितियों में, गणित में 2 अंक जोड़ने और अंग्रेजी से 3 अंक घटाने के बाद मिलने वाले अंकों का गुणनफल = 210