5.समांतर श्रेढ़ी-5.2 part-1

5.समांतर श्रेढ़ी

अभ्यास 5.2 Part 1

प्रश्न 1: निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ A. P. का प्रथम पद a, सार्व अंतर d और nवाँ पद a_n है:

a	d	n	an
7	3	8	...
-18	...	10	0
...	-3	18	-5
-18.9	2.5	...	3.6
3.5	0	10.5	...

उत्तर:(i) दिया गया है a = 7, d = 3 और n = 8, इसलिए a_n= ?
हम जानते हैं $a_n=a+(n–1)d$
इसलिए, $a_n=7+(8–1)3=7+21=28$

(ii) दिया गया है a = - 18, n = 10, a_n = 0, d = ?
हम जानते हैं $a_n=a+(n–1)d$
इसलिए, $0=-18+(10–1)d$
या, $0=-18+9d$
या, $9d=18$
या, $d=\frac{18}{9}=2$

(iii) दिया गया है d = - 3, n = 18, a_n = - 5, a = ?
हम जानते हैं, $a_n=a+(n–1)d$
या, $-5=a+(18–1)(-3)$
या, $-5=a–51$
या, $a=-5+51=46$

(iv) दिया गया है a = - 18.9, d = 2.5, an = 3.6, n = ?
हम जानते हैं, $a_n=a+(n–1)d$
या, $3.6=–18.9+(n–1)2.5$
या, $2.5(n–1)=3.6+18.9=22.5$
या, $n–1=\frac{22.5}{2.5}=9$
या, $n=9+1=10$

(v) दिया गया है a = 3.5, d = 0, n = 105, a_n = ?
हम जानते हैं, $a_n=a+(n–1)d$
या, $a_n=3.5+(104–1)0$
या, $a_n–3.5+0=3.5$

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प्रश्न 2: निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए:

1. A. P.: 10, 7, 4, … का 30वाँ पद है:

1. 97
2. 77
3. -77
4. -87

उत्तर: (c) – 77

व्याख्या: यहाँ, a = 10, d = – 3 और n = 30
हम जानते हैं, $a_n=a+(n–1)d$
या, $a_{30}=10+(30–1)(-3)$
$=10–87=-77$

2. A. P.: -3, $-\frac{1}{2}$, 2, … का 11वाँ पद है:

1. 28
2. 22
3. -38
4. -48.5

उत्तर: (b) 22

व्याख्या: यहाँ, a = - 3, d = 5/2 and n = 11
हम जानते हैं, $a_n=a+(n–1)d$
या, $a_{11}=-3+(11–1)\frac{5}{2}$
$=-3+10\times \frac{5}{2}=-3+25=22$

प्रश्न 3: निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों में, रिक्त स्थानों के पदों को ज्ञात कीजिए:

(a) 2, …, 26

उत्तर: हम जानते हैं कि किसी AP में, मध्य टर्म अन्य तो टर्म के औसत के बराबर होता है।
इसलिए, मध्य टर्म $=\frac{2+26}{2}=\frac{28}{2}=14$
इसलिए, दिये गए AP को इस प्रकार लिखा जा सकता है = 2, 14, 26

(b) ...., 13, …., 3

उत्तर: यहाँ, 13 और 3 के बीच का मध्य टर्म $=\frac{13+3}{2}=\frac{16}{2}=8$
अब, $a_4–a_3=3–8=-5$
$a_3–a_2=8–13=-5$
$a_2–a_1=-5$
या, $13–a_1=-5$
या, $a_1=13+5=18$
इसलिए, दिए गए AP को इस तरीके से लिखा जा सकता है = 18, 13, 8, 3

(c) 5, …, …, 9.5

उत्तर: दिया गया है, a = 5 और $a_4=9\frac{1}{2}$
सार्व अंतर को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है:
$a_4=a+3d$
या, $9.5=5+3d$
या, $3d=9.5–5=4.5$
या, $d=\frac{4.5}{3}=1.5$
अब दूसरे और तीसरे टर्म को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है:
$a_2=a+d$
$=5+1.5=6.5$
इसलिए, अब AP को इस तरह लिखा जा सकता है; 5, 13/2, 8, 19/2

(d) -4, …., ….., …., …., 6

उत्तर: दिया गया है, a = - 4 और a₆ = 6
सार्व अंतर को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है:
$a_6=a+5d$
या, $6=-4+5d$
या, $5d=6+4=10$
या, $d=2$

इस AP के अगले उतरोत्तर टर्म को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;
$a_2=a+d=-4+2=-2$
$a_3=a+2d=-4+4=0$
$a_4=a+3d=-4+6=2$
$a_5=a+4d=-4+8=4$
इसलिए, इस AP को इस तरह से लिखा जा सकता है: - 4, - 2, 0, 2, 4, 6

(e) ...., 38, …., …., …., -22

उत्तर: मान लीजिए कि 38 पहला टर्म है और – 22 पाँचवा टर्म है।
अब सार्व अंतर को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;
$a_5=a+4d$
या, $-22=38+4d$
या, $4d=-22–38=-60$
या, $d=-15$
यदि 38 दूसरा टर्म हो, तो पहले टर्म को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;
$a=a_2–d=38+15=53$

तीसरे, चौथे और पाँचवे टर्म को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;
$a_3=a+2d=53+2(-15)=53–30=23$
$a_4=a+3d=53–45=8$
$a_5=a+4d=53–60=-7$
इसलिए, इस AP को इस तरीके से लिखा जा सकता है: 53, 38, 23, 8, - 7, - 22

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प्रश्न 4: A. P.: 3, 8, 13, 18, …. का कौन सा पद 78 है?

उत्तर: दिया गया है, a = 3, d = a₂ – a₁ = 8 – 3 = 5, a_n= 78, n = ?
हम जानते हैं $a_n=a+(n–1)d$
या, $78=3+(n–1)5$
या, $(n–1)5=78–3=75$
या, $n–1=15$
या, $n=15+1=16$
इसलिए, 78 दिए गए AP का 16वाँ टर्म है।

प्रश्न 5: निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों में से प्रत्येक श्रेढ़ी में कितने पद हैं?

(a) 7, 13, 19, …., 205

उत्तर: दिया गया है, a = 7, d = 6, a_n = 205, n = ?
हम जानते हैं; $a_n=a+(n–1)d$
या, $205=7+(n–1)6$
या, $(n–1)6=205–7=198$
या, $n–1=33$
या, $n=34$
इसलिए, 205 दिये गये AP का 34वाँ टर्म है।

(b) 18, 15.5, 13, …, -47

उत्तर: दिया गया है, a = 18, d = 15.5 – 18 = - 2.5
हम जानते हैं; $a_n=a+(n–1)d$
या, $-47=18+(n–1)(-2.5)$
या, $(n–1)(-2.5)=-47–18=-65$
या, $n–1=26$
या, $n=27$
इसलिए, - 47 दिये गए AP का 27वाँ टर्म है।

प्रश्न 6: क्या A. P.: 11, 8, 5, 2, …. का एक पद -150 है? क्यों?

उत्तर: दिया गया है, a = 11, d = 8 – 11 = - 3, a_n = - 150, n = ?
हम जानते हैं; $a_n=a+(n–1)d$
या, $-150=11+(n–1)(-3)$
या, $(n–1)(-3)=-150–11=-161$
या, $n–1=\frac{161}{3}$
यह साफ है कि 161 को 3 से विभाजित करने पर पूर्णांक नहीं मिल सकता है। लेकिन किसी भी टर्म की संख्या पूर्णांक में ही होगी। इसलिए, -150 दिये गये AP का टर्म नहीं है।

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प्रश्न 7: उस A. P. का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।

उत्तर: दिया गया है, a₁₁ = 38 और a₁₆ = 73
हम जानते हैं; $a_n=a+(n–1)d$
इसलिए, $a_{11}=a+10d=38$
और, $a_{16}=a+15d=73$
11वें टर्म को 16वें टर्म से घटाने पर;
$a+15d–a–10d=73–38$
या, $5d=35$
या, $d=7$
अब, d के मान को 11वें टर्म में रखने पर;
$a+10\times 7=38$
या, $a+70=38$
या, $a=38–70=-32$
अब, 31वें टर्म को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है।
$a_{31}=a+30d$
$=-32+30\times 7$
$=-32+210=178$

प्रश्न 8: एक A. P. में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अंतिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया गया है, a₃ = 12 और a₅₀ = 106
$a_3=a+2d=12$
$a_{50}=a+49d=106$
अब, 50वें टर्म से तीसरे टर्म को घटाने पर;
$a+49d–a–2d=106–12$
या, $47d=94$
या, $d=2$
अब, 12वें टर्म में d का मान रखने पर;
$a+2\times 2=12$
या, $a+4=12$
या, $a=8$
अब, 29वें टर्म को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;
$a_{29}=a+28d$
$=8+28\times 2$
$=8+56=64$

प्रश्न 9: यदि किसी A. P. के तीसरे पद और नौवें पद क्रमश: 4 और -8 हैं, तो इसका कौन सा पद शून्य होगा?

उत्तर: दिया गया है, a₃ = 4 और a₉ = - 8
$a_3=a+2d=4$
$a_9=a+8d=-8$
अब, 9वें टर्म से तीसरे टर्म को घटाने पर;
$a+8d–a–2d=-8–4=-12$
या, $6d=-12$
या, $d=-2$
अब, d का मान तीसरे टर्म में रखने पर;
$a+2(-2)=4$
या, $a–4=4$
या, $a=8$
अब; $0=a+(n–1)d$
या, $0=8+(n–1)(-2)$
या, $(n–1)(-2)=-8$
या, $n–1=4$
या, $n=5$
इसलिए, इस AP का पाँचवा टर्म जीरो है।

प्रश्न 10: किसी A. P. का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

उत्तर: इस AP के 10वें और 17वें टर्म को निम्न तरीके से लिखा जा सकता है;
$a_{10}=a+9d$
$a_{17}=a+16d$
अब, 17वें टर्म से 10वें टर्म को घटाने पर;
$a+16d–a–9d=7$
या, $7d=7$
या, $d=1$

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प्रश्न 11: A. P.: 3, 15, 27, 39, … का कौन सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा?

उत्तर: दिया गया है, a = 3, d = 15 – 3 = 12
54वें टर्म को इस तरह से लिखा जा सकता है;
$a_{54}=a+53d$
$=3+53\times 12$
$=3+636=639$
इसलिए, अभीष्ट टर्म $=639+132=771$
या, $771=a+(n–1)d$
या, $771=3+(n-1)12$
या, $(n–1)12=771–3=768$
या, $n–1=64$
या, $n=65$

प्रश्न 12: दो समांतर श्रेढ़ियों का सार्व अंतर समान है। यदि इनके 100वें पदों का अंतर 100 है, तो इनके 1000वें पदों का अंतर क्या होगा?

उत्तर: दोनों AP का सार्व अंतर समान है। इसलिए, दोनों AP के हर संगत टर्म का अंतर 100 होगा।

प्रश्न 13: तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?

उत्तर: तीन अंकों की सबसे छोटी संख्या = 100
जब 100 को 7 से भाग दिया जाता है तो शेष 2 मिलता है।
अब, $7–2=5$
इसलिए; $100+5=105$ तीन अंकों की सबसे छोटी संख्या होगी जो 7 से भाज्य होती है।
अब, तीन अंकों की सबसे बड़ी संख्या = 999
जब 999 को 7 से भाग दिया जाता है तो शेष 5 मिलता है।
अब, $999–5=994$
यह तीन अंकों की वह सबसे बड़ी संख्या है तो 7 से भाज्य है।
इसलिए, अब हमारे पास निम्नलिखित जानकारी है;
पहला टर्म (a) = 105,
अंतिम टर्म $a_n=994$
सार्व अंतर = 7

हम जानते हैं, $a_n=a+(n–1)d$
या, $994=105+(n–1)7$
या, $(n–1)7=994–105=889$
या, $n–1=127$
या, $n=128$
इसलिए, तीन अंकों की 7 से भाज्य संख्याओं का नम्बर = 128

प्रश्न 14: 10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?

उत्तर: 10 से बड़ी और 4 से भाज्य होने वाली सबसे छोटी संख्या = 12
जब 250 को 4 से विभाजित किया जाता है तो शेष 2 मिलता है।
इसलिए, इस सीरीज में 4 से विभाजित होने वाली सबसे बड़ी संख्या $=250–2=248$
अब हमारे पास निम्नलिखित जानकारी है;
पहला टर्म (a) = 12,
अंतिम टर्म (n) = 248
सार्व अंतर(d) = 4

हम जानते हैं, $a_n=a+(n-1)d$
या, $248=12+(n–1)4$
या, $(n–1)4=248–12=236$
या, $n–1=59$
या, $n=60$
इसलिए, 10 और 250 के बीच 4 से भाज्य संख्याओं का नम्बर = 60