5.समांतर श्रेढ़ी-5.1

5.समांतर श्रेढ़ी

अभ्यास 5.1 

प्रश्न 1: निम्नलिखित स्थितियों में से किन स्थितियों में संबद्ध संख्याओं की सूची A. P. है और क्यों?

(a) प्रत्येक किलोमीटर के बाद का टैक्सी का किराया, जबकि प्रथम किलोमीटर के लिए किराया 15 रु है और प्रत्येक अतिरिक्त किलोमीटर के लिए किराया 8 रु है।

उत्तर: पहले किमी का किराया = 15 रु
दूसरे किमी का किराया $=15+8=23$ रु
तीसरे किमी का किराया $=23+8=31$ रु
यहाँ पर हर उतरोत्तर टर्म अपने से पहले टर्म में एक निश्चित संख्या (8) जोड़ने से बनता है। इसलिए, यह एक AP है।

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(b) किसी बेलन में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पंप प्रत्येक बार बेलन की शेष हवा का ¼ भाग बाहर निकाल देता है।

उत्तर: मान लीजिए कि हवा की दी हुई मात्रा = 1

इसलिए पहली बार निकाली गई हवा की मात्रा $=\frac{1}{4}$

पहली बार हवा निकालने के बाद बची हुई हवा $=1–\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

दूसरी बाद निकाली गई हवा की मात्रा $=\frac{3}{4}\times \frac{1}{4}=\frac{3}{16}$

दूसरी बार हवा निकालने के बाद बची हुई हवा $=\frac{3}{4}–\frac{3}{16}=\frac{12–3}{16}=\frac{9}{16}$

यहाँ हर उतरोत्तर टर्म अपने से पहले वाले टर्म में किसी निश्चित संख्या को जोड़ने से प्राप्त नहीं होता है। इसलिए, यह एक AP.नहीं है।

(c) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, कुँआ खोदने में आई लागत, जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत 150 रु है और बाद में प्रत्येक मीटर खुदाई की लागत 50 रु बढ़ती जाती है।

उत्तर: प्रथम मीटर खुदाई की लागत = 150
दूसरे मीटर की खुदाई की लागत $=150+50=200$
तीसरे मीटर की खुदाई की लागत $=200+50=250$
यहाँ पर हर उतरोत्तर टर्म अपने से पहले टर्म में एक निश्चित संख्या (50) जोड़ने से बनता है। इसलिए, यह एक AP है।

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(d) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि 10000 रु की राशि 8% वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है।

उत्तर: मूलधन की राशि = 10000 रु
8% की दर से पहले वर्ष के अंत में ब्याज $=10000\times 8\%=800$
पहले वर्ष के अंत में मिश्रधन की राशि $=10000+800=10800$
8% की दर से दूसरे वर्ष के अंत में ब्याज $=10800\times 8\%=864$
दूसरे वर्ष के अंत में मिश्रधन की राशि $=10800+864=11664$
यहाँ हर उतरोत्तर टर्म अपने से पहले वाले टर्म में किसी निश्चित संख्या को जोड़ने से प्राप्त नहीं होता है। इसलिए, यह एक AP.नहीं है।

प्रश्न 2: दी हुई A. P. के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्व अंतर d निम्नलिखित हैं:

(a) a = 10, d = 10

उत्तर: दिया गया है, पहला टर्म $a_1=10$ और सार्व अंतर, $d=10$
इसलिए, दूसरा टर्म $a_2=a_1+d=10+10=20$
तीसरा टर्म $a_3=a_1+2d=10+2\times 10=30$
चौथा टर्म $a_4=a_1+3d=10+30=40$
इसलिए, AP के पहले चार टर्म = 10, 20, 30, 40, ……

(b) a = - 2, d = 0

उत्तर: दिया गया है पहला टर्म a₁ = 10 और सार्व अंतर, d = 10
इसलिए, दूसरा टर्म $a_2=a_1+d=10+10=20$
तीसरा टर्म $a_3=a_1+2d=10+2\times 10=30$
चौथा टर्म $a_4=a_1+3d=10+30=40$
इसलिए, AP के पहले चार टर्म = 10, 20, 30, 40, ……

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(c) a = 4, d = - 3

उत्तर: दिया गया है, पहला टर्म a₁ = 4 और सार्व अंतर d = - 3
हम जानते हैं; $a_n=a+(n–1)d$, जहाँ n = टर्म की संख्या
इसलिए, दूसरा टर्म $a_2=a+(2–1)d$
या,$a_2=4+(2-1)\times (-3)$
$=4-3=1$
तीसरा टर्म $a_3=a+(3–1)d$
या, $a_3=4+(3-1)\times (-3)$
$=4-6=-2$
चौथा टर्म $a_4=a+(4-1)d$
या, $a_4=4+(4-1)\times (-3)$
$=4-9=-5$
इसलिए, AP के पहले चार टर्म = 4, 1, - 2, - 5

(d) $a=-1$, $d=\frac{1}{2}$

उत्तर: दिया गया है, पहला टर्म $=-1$ और सार्व अंतर $d=\frac{1}{2}$
दूसरा टर्म $a_2=a+(2–1)d$
$=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$
तीसरा टर्म $a_3=a+(3–1)d$
$=-1+2\times \frac{1}{2}=0$
चौथा टर्म $a_4=a–(4–1)d$
$=-1+3\times \frac{1}{2}=\frac{-2+3}{2}=\frac{1}{2}$
इसलिए, पहले चार टर्म = - 1, $-\frac{1}{2}$, 0 and $\frac{1}{2}$

(e) a = - 125, d = - 0.25

उत्तर: दिया गया है, पहला टर्म = - 1.25 और सार्व अंतर d = - 0.25
दूसरा टर्म $a_2=a+d$
$=-1.25-0.25=-1.5$
तीसरा टर्म $a_3=a+2d$
$=-1.25+2\times (-0.25)$
$=-1.25-0.5=-1.75$
चौथा टर्म $a_4=a+3d$
$=1.25+3\times (-0.25)=-2.25$
इसलिए, पहले चार टर्म = - 1.25, -1.5, -1.75 and – 2.25

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प्रश्न 3: निम्नलिखित में से प्रत्येक A. P. के लिए प्रथम पद तथा सार्व अंतर लिखिए:

(a) 3, 1, -1, -3, ….

उत्तर: यहाँ, पहला टर्म a = 3
सार्व अंतर को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;
$a_4–a_3=-3–(-1)=-3+1=-2$
$a_3–a_2=-1–1=-2$
$a_2–a_1=1–3=-2$
यहाँ, k के हर मान के लिए; $a_{k+1}–a_k=-2$
इसलिए, पहला टर्म = 3 और सार्व अंतर = - 2

(b) -5, -1, 3, 7, ….

उत्तर: $a_4–a_3=7–3=4$
$a_3–a_2=3–(-1)=3+1=4$
$a_2–a_1=-1–(-5)=-1+5=4$
यहाँ, k के हर मान के लिये $a_{k+1}–a_k=-2$
इसलिए, पहला टर्म = - 5 और सार्व अंतर = 4

(c) $\frac{1}{3}$, $\frac{5}{3}$, $\frac{9}{3}$, $\frac{13}{3}$, …

उत्तर: $a_4-a_3=\frac{13}{3}–\frac{9}{3}=\frac{4}{3}$

$a_3-a_2=\frac{9}{3}–\frac{5}{3}=\frac{4}{3}$

$a_2-a=\frac{5}{3}–\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$

यहाँ k के हार मान के लिए $a_{k+1}–a_k=-2$

इसलिए, पहला टर्म $=\frac{1}{3}$ और सार्व अंतर $=\frac{4}{3}$

(d) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, …..

उत्तर: $a_4–a_3=3.9–2.8=1.1$
$a_3–a_2=2.8–1.7=1.1$
$a_2–a_1=1.7–0.6=1.1$
यहाँ k के हर मान के लिए $a_{k+1}–a_k=1.1$
इसलिए, पहला टर्म = 0.6 और सार्व अंतर = 1.1

प्रश्न 4: निम्नलिखित में से कौन-कौन A. P. हैं? यदि कोई A. P. है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन और पद लिखिए।

(a) 2, 4, 8, 16, …

उत्तर: हम जानते हैं कि यदि k के हर मान के लिए $a_{k+1}–a_k$ का मान समान होता है तो दी गई सीरीज एक AP.होती है।
दिया गया है, $a_1=2$, $a_2=4$, $a_3=8$ और $a_4=16$
$a_4–a_3=16–8=8$
$a_3–a_2=8–4=5$
$a_2–a_1=4–2=2$
यहाँ, k के हर मान के लिए $a_{k+1}–a_k$ का मान समान नहीं है।
इसलिए, दी गई सीरीज AP.नहीं है।

(b) 2, $\frac{5}{2}$, 3, $\frac{7}{2}$, …

उत्तर: दिया गया है, a₁ = 2, a₂ = 5/2, a₃ = 3 और a₄ = 7/2
$a_4-a_3=\frac{7}{2}–3=\frac{1}{2}$
$a_3-a_2=3–\frac{5}{2}=\frac{1}{2}$
$a_2-a=\frac{5}{2}–2=\frac{1}{2}$
यहाँ, k के हर मान के लिए a_k+1 – a_k का मान समान है।
इसलिए, दी गई सीरीज AP है।
सार्व अंतर = $\frac{1}{2}$

इस सीरीज के अगले तीन टर्म को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है।
$a_5=a+4d=2+4\times \frac{1}{2}=4$
$a_6=a+5d=2+5\times \frac{1}{2}=\frac{9}{2}$
$a_7=a+6d=2+6\times \frac{1}{2}=5$
इस AP के अगले तीन टर्म = 4, $\frac{9}{2}$ और 5

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(c) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2, ….

उत्तर: a₄ – a₃ = - 7.2 + 5.2 = - 2
a₃ – a₂ = - 5.2 + 3.2 = - 2
a₂ – a₁ = - 3.2 + 1.2 = - 2
यहाँ, k के हर मान के लिए a_k+1 – a_k का मान समान है।
इसलिए, दी गई सीरीज AP है।
सार्व अंतर = - 2

इस सीरीज के अगले तीन टर्म निम्न तरीके से निकाले जा सकते हैं;
a₅ = a + 4d
= -1.2 + 4 × (-2)
= -1.2 - 8 = -9.2
a₆ = a + 5d
= -1.2 + 5 × (-2)
= -1.2 - 10 = -11.2
a₇ = a + 6d
= -1.2 + 6 × (-2)
= -1.2 - 12 = -13.2
इस AP के अगले तीन टर्म = - 9.2, - 11.2 और – 13.2

(d) -10, -6, -2, 2, ….

उत्तर: a₄ – a₃ = 2 + 2 = 4
a₃ – a₂ = - 2 + 6 = 4
a₂ – a₁ = - 6 + 10 = 4
यहाँ, k के हर मान के लिए a_k+1 – a_k का मान समान है।
इसलिए यह सीरीज AP है।
सार्व अंतर् = 4

इस AP के अगले तीन टर्म निम्न तरीके से निकाले जा सकते हैं;
a₅ = a + 4d
= -10 + 4 × 4
= -10 + 16 = 6
a₆ = a + 5d
= -10 + 5 × 4
= -10 + 20 = 10
a₇ = a + 6d
= -10 + 6 × 4
= -10 + 24 = 14
इस AP के अगले तीन टर्म = 6, 10 और 14.

(e) 3, 3 + √2, 3 + 2√2, 3 + 3√2, ….

उत्तर: a₄ – a₃ = 3 + 3√2 – 3 - 2√2 = √2
a₃ – a₂ = 3 + 2√2 – 3 - √2 = √2
a₂ – a₁ = 3 + √2 – 3 = √2
यहाँ, k के हर मान के लिए a_k+1 – a_k का मान समान है।
इसलिए यह सीरीज AP है।
सार्व अंतर = √2

इस AP के अगले तीन टर्म निम्न तरीके से निकाले जा सकते हैं।
a₅ = a + 4d = 3 + 4√2
a₆ = a + 5d = 3 + 5√2
a₇ = a + 6d = 3 + 6√2
इस AP के अगले तीन टर्म = 3 + 4√2, 3 + 5√2 और 3 + 6√2

(f) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, ….

उत्तर: a₄ – a₃ = 0.2222 – 0.222 = 0.0002
a₃ – a₂ = 0.222 – 0.22 = 0.002
a₂ – a₁ = 0.22 – 0.2 = 0.02
यहाँ, k के हर मान के लिए a_k+1 – a_k का मान समान नहीं है।
इसलिए, यह सीरीज AP नहीं है।

(g) 0, -4, -8, -12, ….

उत्तर: Here; a₄ – a₃ = - 12 + 8 = - 4
a₃ – a₂ = - 8 + 4 = - 4
a₂ – a₁ = - 4 – 0 = - 4
यहाँ, k के हर मान के लिए a_k+1 – a_k का मान समान है।
इसलिए, यह सीरीज AP है।

इस सीरीज के अगले तीन टर्म निम्न तरीके से निकाले जा सकते हैं।
a₅ = a + 4d = 0 + 4(- 4) = - 16
a₆ = a + 5d = 0 + 5(- 4) = - 20
a₇ = a + 6d = 0 + 6(- 4) = - 24
इस सीरीज के अगले तीन टर्म = - 16, - 20 and – 24

(h) -1/2, -1/2, -1/2, -1/2, ….

उत्तर: यह साफ है कि d = 0
यहाँ, k के हर मान के लिए a_k+1 – a_k का मान समान है।
इसलिए यह सीरीज AP है।
अगले तीन टर्म एक जैसे होंगे, यानि. – ½

(i) 1, 3, 9, 27, …..

उत्तर: a₄ – a₃ = 27 – 9 = 18
a₃ – a₂ = 9 – 3 = 6
a₂ – a₁ = 3 – 1 = 2
यहाँ, k के हर मान के लिए a_k+1 – a_k का मान समान नहीं है।
इसलिए, यह सीरीज AP नहीं है।

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(j) a, 2a, 3a, 4a, ….

उत्तर: a₄ – a₃ = 4a – 3a = a
a₃ – a₂ = 3a – 2a = a
a₂ – a₁ = 2a – a = a
यहाँ, k के हर मान के लिए a_k+1 – a_k का मान समान है।
इसलिए, यह सीरीज AP है।

इस सीरीज के अगले तीन टर्म निम्न तरीके से निकाले जा सकते हैं।
a₅ = a + 4d = a + 4a = 5a
a₆ = a + 5d = a + 5a = 6a
a₇ = a + 6d = a + 6a = 7a
सीरीज के अगले तीन टर्म = 5a, 6a and 7a.

(k) a, a², a³, a⁴, …

उत्तर: यहाँ, उतरोत्तर टर्म में घातांक बढ़ रहा है।
यहाँ, k के हर मान के लिए a_k+1 – a_k का मान समान नहीं है।
इसलिए, यह सीरीज AP नहीं है।

(l) √2, √8, √18, √32, …

उत्तर: इस AP के टर्म को निम्न तरीके से भी लिखा जा सकता है;
√2, 2√2, 3√2, 4√2, ………..
a₄ – a₃ = 4√2 - 3√2 = √2
a₃ – a₂ = 3√2 - 2√2 = √2
a₂ – a₁ = 2√2 - √2 = √2
यहाँ, k के हर मान के लिए a_k+1 – a_k का मान समान है।
इसलिए, यह सीरीज एक AP है।

इस सीरीज के अगले तीन टर्म निम्न तरीके से निकाले जा सकते हैं;
a₅ = a + 4d = √2 + 4√2 = 5√2
a₆ = a + 5d = √2 + 5√2 = 6√2
a₇ = a + 6d = √2 + 6√2 = 7√2
सीरीज के अगले तीन टर्म = 5√2, 6√2 and 7√2

(m) √3, √6, √9, √12, …

उत्तर: a₄ – a₃ = √12 - √9 = 2√3 – 3
a₃ – a₂ = √9 - √6 = 3 - √6
a₂ – a₁ = √6 - √3
यहाँ, k के हर मान के लिए a_k+1 – a_k का मान समान नहीं है।
इसलिए, यह सीरीज AP नहीं है।

(n) 1², 3², 5², 7², …

उत्तर: इस सीरीज को निम्न तरीके से भी लिखा जा सकता है;
1, 9, 25, 49, …………
इसलिए, a₄ – a₃ = 49 – 25 = 24
a₃ – a₂ = 25 – 9 = 16
a₂ – a₁ = 9 – 1 = 8
यहाँ, k के हर मान के लिए a_k+1 – a_k का मान समान नहीं है।
इसलिए, यह सीरीज AP नहीं है।

(o) 1², 5², 7², 73, …

उत्तर: इस सीरीज को निम्न तरीके से भी लिखा जा सकता है;
1, 25, 49, 73, ….
इसलिए; a₄ - a₃ = 73 – 49 = 24
a₃ - a₂ = 49 – 25 = 24
a₂ - a = 25 – 1 = 24
यहाँ, k के हर मान के लिए a_{k + 1} - a_k का मान समान है।
इसलिए यह सीरीज एक AP है।

इस सीरीज के अगले तीन टर्म निम्न तरीके से निकाले जा सकते हैं;
a₅ = a + 4d = 1 + 4 X 24 = 97
a₆ = a + 5d = 1 + 5 X 24 = 121
a₇ = a + 6d = 1 + 6 x 24 = 145
इस AP के अगले तीन टर्म = 97, 121 और 145

☆END☆