अभ्यास 3.5 Part 1

अभ्यास 3.5 Part 1

प्रश्न 1: निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से किसका एक अद्वितीय हल है, किसका कोई हल नहीं है या किसके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। अद्वितीय हल की स्थिति में, उसे वज्र गुणन विधि से ज्ञात कीजिए।

(a) $x–3y–3=0$ और $3x–9y–2=0$

उत्तर:

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{3}$

$\frac{b_1}{b_2}=\frac{-3}{-9}=\frac{1}{3}$

$\frac{c_1}{c_2}=\frac{3}{2}$

यह स्पष्ट है कि

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$

इसलिए, दिये गये रैखिक समीकरण के जोड़े का कोई हल नहीं है।

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(b) $2x+y=5$ और $3x+2y=8$

उत्तर:

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{3}$

$\frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{2}$

यह स्पष्ट है कि

$\frac{a_1}{a_2}\ne \frac{b_1}{b_2}$

इसलिए, दिये गये रैखिक समीकरण के जोड़े का अद्वितीय हल है।

वज्र गुणन विधि के अनुसार;

$\frac{x}{b_1{c}_2-b_2{c}_1}$$=\frac{y}{c_1{a}_2-c_2{a}_1}$$=\frac{1}{a_1{b}_2-a_2{b}_1}$

या, $\frac{x}{-8+10}=\frac{y}{-15+15}=\frac{1}{4-3}$

या, $\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=1$

या, $x=1$ और $y=2$

(c) $3x–5y=20$ और $6x–10y=40$

उत्तर: a₁ = 3, b₁ = - 5, c₁ = - 20

a₂ = 6, b₂ = - 10, c₂ = - 40

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

$\frac{b_1}{b_2}=\frac{-5}{-10}=\frac{1}{2}$

$\frac{c_1}{c_2}=\frac{-20}{-40}=\frac{1}{2}$

यह स्पष्ट है कि

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$

इसलिए, दिये गये रैखिक समीकरण के जोड़े के अपरिमित रूप से अनेक हल संभव हैं।

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(d) $x–3y–7=0$ और $3x–3y–15=0$

उत्तर: a₁ = 1, b₁ = - 3, c₁ = - 7

a₂ = 3, b₂ = - 3, c₂ = - 15

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{3}$

$\frac{b_1}{b_2}=\frac{-3}{-3}=1$

यह स्पष्ट है कि

$\frac{a_1}{a_2}\ne \frac{b_1}{b_2}$

इसलिए, दिये गये रैखिक समीकरण के जोड़े का अद्वितीय हल संभव है।

वज्र गुणन विधि के अनुसार;

$\frac{x}{b_1{c}_2-b_2{c}_1}$$=\frac{y}{c_1{a}_2-c_2{a}_1}$$=\frac{1}{a_1{b}_2-a_2{b}_1}$

या, $\frac{x}{(-3\times -15)-(-3\times -7)}$

$=\frac{y}{(-7\times 3)-(-15\times 1)}$

$=\frac{1}{(1\times -3)-(3\times -3)}$

या, $\frac{x}{45-21}=\frac{y}{-21+15}=\frac{1}{-3+9}$

या, $\frac{x}{24}=\frac{y}{-6}=\frac{1}{6}$

या, $x=\frac{24}{6}=4$

और $y=-\frac{6}{6}=-1$