5.समांतर श्रेढ़ी 5.3 Part 6

5.समांतर श्रेढ़ी

अभ्यास 5.3 Part 6

प्रश्न 16: किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए 700 रु की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से 20 रु कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया गया है; d = 20 n = 7 और S_n = 700
हम जानते हैं;

$S=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

या, $700=\frac{7}{2}(2a+6\times 20)$
या, $a+60=100$
या, $a=40$
इसलिए, पुरस्कार की राशि बढ़ते क्रम में इस प्रकार है: Rs. 40, Rs. 60, Rs. 80, Rs. 100, Rs. 120, Rs. 140 और Rs. 160

प्रश्न 17: एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदूषण कम करने के लिए स्कूल के अंदर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोचा। यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा। उदाहरणार्थ, कक्षा 1 का एक अनुभाग 1 पेड़ लगाएगा, कक्षा 2 का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा 3 का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा कक्षा 12 तक के लिए चलता रहेगा। प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं। इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या कितनी होगी?

उत्तर: चूँकि कक्षा 1 के हर सेक्शन द्वारा एक एक पेड़ लगाया जायेगा, इसलिए कक्षा 1 के 3 सेक्शन द्वारा 3 पेड़ लगाए जाएंगे।

इसी प्रकार,
कक्षा 2 के 3 सेक्शन द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 6
कक्षा 3 के 3 सेक्शन द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 9
कक्षा 4 के 3 सेक्शन द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 12
इसलिए; a = 3, d = 3 और n = 12

अब पेड़ों की कुल संख्या को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;

$S=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

$=\frac{12}{2}(2\times 3+11\times 3)$
$=6(6+33)=6\times 39=234$

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प्रश्न 18: केंद्र A से प्रारंभ करते हुए, बारी-बारी से केंद्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 सेमी, 1.0 सेमी, 1.5 सेमी, 2.0 सेमी, … वाले उतरोत्तर अर्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल बनाया गया है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। तेरह क्रमागत अर्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लंबाई क्या है? (π = 22/7)

उत्तर: पहले अर्धवृत्त का परिमाप $=\pi r=0.5\pi$
दूसरे अर्धवृत्त का परिमाप $=\pi r=1\pi =\pi$
तीसरे अर्धवृत्त का परिमाप $=\pi r=1.5\pi$
इसलिए, $a=0.5\pi$, $d=0.5\pi$ और $n=13$

इसलिए, सर्पिल की लंबाई को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है

$S=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

$=\frac{13}{2}(2\times 0.5\pi +12\times 0.5\pi )$
$=\frac{13}{2}\times 7\pi$
$=\frac{13}{2}\times 7\times \frac{22}{7}=143$ cm

प्रश्न 19: 200 लट्ठों को ढ़ेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है: सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्ठे, इससे अगली पंक्ति में 19 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 18 लट्ठे, इत्यादि। ये 200 लट्ठे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं?

उत्तर: दिया गया है; a = 20, d = - 1 और S_n = 200
हम जानते हैं;

$S=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

या, $200=\frac{n}{2}[2\times 20+(n-1)(-1)]$
या, $400=n(40–n+1)$
या, $400=41n–n^2$
या, $n^2-41n+400=0$
या, $n^2-25n–16n+400=0$
या, $n(n–25)–16(n–25)=0$
या, $(n–16)(n-25)=0$
इसलिए, $n=16$ और $n=25$

यदि पंक्तियों की संख्या 25 है तो;
$a_{25}=20+24\times (-1)$
$=20–24=-4$

चूँकि लट्ठे की संख्या का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए पंक्तियों की संख्या = 16
$a_{16}=20+15\times (-1)$
$=20–15=5$
इसलिए, पंक्तियों की संख्या = 16 और सबसे ऊपरी पंक्ति में लट्ठों की संख्या = 5

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प्रश्न 20: एक आलू दौड़ में, प्रारंभिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5 सेमी की दूरी पर है, तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3 मी की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं।

प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारंभ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस आकर दौड़कर बाल्टी में डालती है, और वह ऐसा तब तक करती रहती है, जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी?

उत्तर: पहले आलू को उठाने और रखने में तय की गई दूरी $=2\times 5=10$ m
दूसरे आलू को उठाने और रखने में तय की गई दूरी $=2\times (5+3)=16$ m
तीसरे आलू को उठाने और रखने में तय की गई दूरी $=2\times (5+3+3)=22$ m
इसलिए, $a=10$, $d=6$ और $n=10$

कुल दूरी को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;

$S=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

$=\frac{10}{2}(2\times 10+9\times 6)$
$=5(20+54)=5\times 74=370$ m