अभ्यास 3.5 Part 2

अभ्यास 3.5 Part 2

प्रश्न 2 (1): a और b के किन मानों के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?

$2x+3y=7$ and $(a–b)x+(a+b)y=3a+b–2$

उत्तर: a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = - 7
a₂ = (a – b), b₂ = (a + b), c₂ = - (3a + b – 2)

अपरिमित रूप से अनेक हल के लिये समीकरण को निम्न शर्त पूरी करनी होगी।

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$

या, $\frac{2}{a-b}=\frac{3}{a+b}$

$=\frac{-7}{-(3a+b-2)}$

या, $2(a+b)=3(a–b)$
या, $2a+2b=3a–3b$
या, $2a+5b=3a$
या, $a=5b$ …….. (1)

इसी तरह से, $6a+2b–4=7a–7b$
या, $6a+2b–7a+7b=4$
या, $-a+9b=4$
या, $a=9b+4$ …….. (2)

समीकरण (1) और (2) से यह स्पष्ट है कि;
$5b=9b–4$
या, $4b=4$
या, $b=1$

समीकरण (1) में b का मान रखने पर;
$a=5b=5$
इसलिए, $a=5$ और $b=1$

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प्रश्न 2 (2): k के किस मान के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है?
$3x+y=1$ and $(2k–1)x+(k–1)y=2k+1$

उत्तर: a₁ = 3, b₁ = 1, c₁ = 1
a₂ = (2k – 1), b₂ = (k – 1), c₂ = - (2k + 1)

कोई हल नहीं होने के लिये समीकरण को निम्न शर्त पूरी करनी होगी।

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$

या, $\frac{3}{2k-1}=\frac{1}{k-1}\ne \frac{1}{2k+1}$

या, $3(k–1)=2k–1$
या, $3k–3=2k–1$
या, $3k=2k–1+3$
या, $3k=2k+2$
या, $k=2$

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प्रश्न 3: निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को प्रतिस्थापन एवं वज्र गुणन विधियों से हल कीजिए। किस विधि को आप अधिक उपयुक्त मानते हैं?
$8x+5y=9$ and $3x+2y=4$.

उत्तर: प्रतिस्थापन विधि:

पहले समीकरण का उपयोग करते हुए एक वैरियेबल को दूसरे वैरियेबल के रूप में रखने पर;
$8x+5y=9$
या, $8x=9–5y$

या, $x=\frac{9-5y}{8}$

दूसरे समीकरण में x का मान रखने पर;

$3x+2y=4$

या, $3\left(\frac{9-5y}{8}\right)+2y=4$

या, $\frac{27-15y}{8}+2y=4$

या, $\frac{27-15y+16y}{8}=4$

या, $27+y=32$

या, $y=32-27=5$

पहले समीकरण में y का मान रखने पर;

$x=\frac{9-5y}{8}=\frac{9-5\times 5}{8}$

$=\frac{9-25}{8}=-\frac{16}{8}=-2$

इसलिए, $x=-2$ और $y=5$

वज्र गुणन विधि:
$8x+5y=9$ और $3x+2y=4$
$a_1=8$, $b_1=5$, $c_1=-9$
$a_2=3$, $b_2=2$, $c_2=-4$

वज्र गुणन विधि के अनुसार;

$\frac{x}{b_1{c}_2-b_2{c}_1}$$=\frac{y}{c_1{a}_2-c_2{a}_1}$$=\frac{1}{a_1{b}_2-a_2{b}_1}$

या, $\frac{x}{(5\times -4)-(2\times -9)}$

$=\frac{y}{(-9\times 3)-(-4\times 8)}$

$=\frac{1}{(8\times 2)-(3\times 5)}$

या, $\frac{x}{-20+18}=\frac{y}{-27+32}=\frac{1}{16-15}$

या, $\frac{x}{-2}=\frac{y}{5}=1$

इसलिए, $x=-2औरy=5$