3.दो चर वाले रैखिक समीकरणों के युग्म

NCERT अभ्यास 3.1

प्रश्न 1: आफताब अपनी पुत्री से कहता है, “सात वर्ष पूर्व मैं तुमसे सात गुनी आयु का था। अब से 3 वर्ष बाद मैं तुमसे केवल तीन गुनी आयु का रह जाउँगा।“ इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ग्राफीय रूपों में व्यक्त कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए कि आफताब की वर्तमान आयु $=x$, और उसकी बेटी की वर्तमान आयु $=y$

सात वर्ष पहले आफताब की आयु $=x-7$ और उसकी बेटी की आयु $=y-7$

प्रश्न के अनुसार,
x $–7=7(y–7)$
या, $x–7=7y–49$
या, $x=7y–49+7$
या, $x=7y–42$
या, $7y–x–42=0$ ……(1)

इस समीकरण से x और y के निम्नलिखित मान मिलते हैं:

x	-35	-28	-21	-14	-7	0	7	14	21	28	35	42	49
y	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13

आज से तीन वर्ष बाद:

आफताब की आयु $=x+3$ और उसकी बेटी की आयु $=y+3$
प्रश्न के अनुसार,
$x+3=3(y+3)$
या, $x+3=3y+9$
या, $x=3y+9–3$
या, $x=3y+6$
या, $3y–x+6=0$ ……..(2)

इस समीकरण से x और y के निम्नलिखित मान मिलते हैं।

x	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45
y	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13

दिये गये रैखिक समीकरण के युग्म के लिये दिया गया ग्राफ बनाया जा सकता है।

बेटी की आयु = 12 वर्ष और आफताब की आयु = 42 वर्ष

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प्रश्न 2: क्रिकेट टीम के एक कोच ने 3900 रु में 3 बल्ले तथा 6 गेंदें खरीदी। बाद में उसने एक और बल्ला तथा उसी प्रकार की 2 गेंदें 1300 रु में खरीदी। इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए कि एक बल्ले का मूल्य $=x$ और एक गेंद का मूल्य $=y$. प्रश्न के अनुसार निम्नलिखित समीकरण लिखा जा सकता है।

$3x+6y=3900$
या, $x+2y=1300$ ……..(1)

इस समीकरण से x और y के निम्नलिखित मान मिलते हैं।

x	1500	1400	1300	1200	1100
y	-100	-50	0	50	100

$x+3y=1300$ ……….(2)

इस समीकरण से x और y के निम्नलिखित मान मिलते हैं।

x	1600	1450	1300	1150	1000
y	-100	-50	0	50	100

दिये गये रैखिक समीकरण के युग्म के लिये दिया गया ग्राफ बनाया जा सकता है।

एक बल्ले का मूल्य = 1300 रु और एक गेंद का मूल्य = जीरो

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प्रश्न 3: 2 किग्रा सेब और 1 किग्रा अंगूर का मूल्य किसी दिन 160 रु था। एक महीने बाद 4 किग्रा सेब और 2 किग्रा अंगूर का मूल्य 300 रु हो जाता है। इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रुपों में व्यक्त कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए कि 1 किग्रा सेब का मूल्य $=x$ और 1 किग्रा अंगूर का मूल्य $=y$. प्रश्न के अनुसार निम्नलिखित समीकरण बनते हैं।

$2x+y=160$ ……..(1)

इस समीकरण से x और y के निम्नलिखित मान मिलते हैं।

x	70	60	50	40
y	20	40	60	80

$4x+2y=300$
या, $2x+y=150$ ……..(2)

x	65	55	45	35
y	20	40	60	80

दिये गये रैखिक समीकरण के युग्म के लिये दिया गया ग्राफ बनाया जा सकता है।

यहाँ पर समांतर रेखाएँ बनती हैं, इसलिए रैखिक समीकरण के इस जोड़े का कोई हल नहीं हो सकता है।