अभ्यास 3.2 Part 1

 अभ्यास 3.2 Part 1

प्रश्न 1: निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए।

(a) कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़्कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लिए लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए कि लड़कों की संख्या $=x$ और लड़कियों की संख्या $=y$. प्रश्न के अनुसार निम्नलिखित समीकरण मिलते हैं।

$x+y=10$
या, $y=10–x$ ………(1)

इस समीकरण से x और y के निम्नलिखित मान मिलते हैं।

x	1	2	3	4
y	9	8	7	6

$y=x+4$ ………..(2)

इस समीकरण से x और y के निम्नलिखित मान मिलते हैं।

x	1	2	3	4
y	5	6	7	8

दिये गये रैखिक समीकरण के युग्म के लिये दिया गया ग्राफ बनाया जा सकता है।

लड़कों की संख्या = 3 और लड़कियों की संख्या = 7

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(b) 5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य 50 रु है, जबकि 7 पेंसिल तथा 5 कलमों का कुल मूल्य 46 रु है। एक पेंसिल का मूल्य तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए कि एक पेंसिल का मूल्य $=x$ और एक कलम का मूल्य $=y$ है। प्रश्न के अनुसार निम्नलिखित समीकरण मिलते हैं।

$5x+7y=50$ ………(1)

इस समीकरण से x और y के निम्नलिखित मान मिलते हैं।

x	1	2	3	4
y	6.4	5.7	5	4.2

$7x+5y=46$ ……….(2)

इस समीकरण से x और y के निम्नलिखित मान मिलते हैं।

x	1	2	3	4
y	7.8	6.4	5	3.6

दिये गये रैखिक समीकरण के युग्म के लिये दिया गया ग्राफ बनाया जा सकता है।

एक पेंसिल का मूल्य = 3 रु और एक कलम का मूल्य = 5 रु

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प्रश्न 2: अनुपातों $\frac{a_1}{a_2}$, $\frac{b_1}{b_2}$ और $\frac{c_1}{c_2}$ की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरुपित रेखाएँ एक बिंगु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समांतर हैं अथवा संपाती हैं:

(a) $5x–4y+8=0$ and $7x+6y–9=0$

उत्तर: रैखिक समीकरणों के दिये गये युग्म के लिए

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{5}{7}$

$\frac{b_1}{b_2}=-\frac{4}{6}=-\frac{2}{3}$

यह स्पष्ट है कि

$\frac{a_1}{a_2}\ne \frac{b_1}{b_2}$

इसलिए दिये गये रैखिक समीकरणों के युग्म के लिये प्राप्त रेखाएँ एक दूसरे को एक बिंदु पर काटती हैं।

(b) $9x+3y+12=0$ and $18x+6y+24=0$

उत्तर: रैखिक समीकरणों के दिये गये युग्म के लिए

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}$

$\frac{b_1}{b_2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

$\frac{c_1}{c_2}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$

यह स्पष्ट है कि

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$

इसलिए, दिये गये रैखिक समीकरणों के युग्म के लिये प्राप्त रेखाएँ संपाती हैं।

(c) $6x–3y+10=0$ and $2x-y+9=0$

उत्तर: रैखिक समीकरणों के दिये गये युग्म के लिए

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{6}{2}=3$

$\frac{b_1}{b_2}=\frac{-3}{-1}=3$

$\frac{c_1}{c_2}=\frac{10}{9}$

यह स्पष्ट है कि

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$

इसलिए, दिये गये रैखिक समीकरणों के युग्म के लिये प्राप्त रेखाएँ समांतर हैं।