7.निर्देशांक ज्यामिति part-1

निर्देशांक ज्यामिति

अभ्यास 7.1 Part 1

प्रश्न 1: बिंदुओं के निम्नलिखित युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए:

(a) (2, 3), (4, 1)

उत्तर: मान लीजिए (x₁, y₁) = (2, 3) और (x₂, y₂) = (4, 1)

दूरी का फॉर्मूला

$=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

$=\sqrt{{(4-2)}^2+{(1-3)}^2}$

$=\sqrt{2^2\pm 2^2}$

$=\sqrt{4+4}$

$=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ यूनिट

---

(b) (-5, 7), (-1, 3)

उत्तर: मान लीजिए (x₁, y₁) = (-5, 7) और (x₂, y₂) = (-1, 3)

दूरी का सूत्र

$=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

$=\sqrt{{(-1+5)}^2+{(3-7)}^2}$

$=\sqrt{{(-4)}^2+{(-4)}^2}$

$=\sqrt{16+16}$

$=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$ यूनिट

---

(c) (a, b), (-a, -b)

उत्तर: मान लीजिए (x₁, y₁) = (a, b) और (x₂, y₂) = (-a, -b)

दूरी का फॉर्मूला

$=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

$=\sqrt{{(-a-a)}^2+{(-b-b)}^2}$

$=\sqrt{{(-2a)}^2+{(-2b)}^2}$

$=\sqrt{4a^2+4b^2}$

$=\sqrt{4(a^2+b^2)}$

$=2\sqrt{a^2+b^2}$ यूनिट

प्रश्न 2: बिंदुओं (0, 0) और (36, 15) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। क्या आप अनुच्छेद 7.2 में दिए दोनों शहरों A और B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं?

उत्तर: हम जानते हैं कि मूल बिंदु से किसी बिंदु (x, y) की दूरी का फॉर्मूला है

$\sqrt{x^2+y^2}$

इसलिए, मान लीजिए $36=x$ है और $15=y$ ।

इसलिए, $\sqrt{x^2+y^2}$

$=\sqrt{{36}^2+{15}^2}$

$=\sqrt{1296+225}$

$=\sqrt{1521}=39$ यूनिट

एनसीईआरटी की किताब के इस चैप्टर के सेक्शन 7.2 में बताया गया है कि शहर B शहर A से 36 यूनिट पूर्व और 15 यूनिट उत्तर में है। इसलिए शहर A और शहर B के बीच की दूरी = 39 यूनिट। यदि किलोमीटर में मापा जाए तो यह दूरी 39 किमी है।

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प्रश्न 3: निर्धारित कीजिए कि क्या बिंदु (1, 5), (2, 3) और (-2, -11) संरेखी हैं।

उत्तर: मान लीजिए A = (1, 5), B = (2, 3) और C = (-2, -11)

इसलिए AB की लंबाई के लिए दूरी का फॉर्मूला

$\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

यहाँ पर, x₁ = 1, x₂ = 2, y₁ = 5 और y₂ = 3

इसलिए, $AB=\sqrt{{(2-1)}^2+{(3-5)}^2}$

$=\sqrt{1^2+{(-2)}^2}=\sqrt{1+4}$

Or, $AB=\sqrt{5}$ यूनिट

अब, BC कि लंबाई के लिए दूरी का फॉर्मूला

$\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

यहाँ पर, x₁ = 2, x₂ = -2, y₁ = 3 और y₂ = -11

इसलिए, $BC=\sqrt{{(-2-2)}^2+{(-11-3)}^2}$

$=\sqrt{{(-4)}^2+{(-14)}^2}$

$=\sqrt{16+196}=\sqrt{212}$

$=\sqrt{4\times 53}=2\sqrt{53}$ यूनिट

अब AC की लंबाई के लिए दूरी का फॉर्मूला

$\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

यहाँ, x₁ = 1, x₂ = -2, y₁ = 5 और y₂ = -11

इसलिए, $AC=\sqrt{{(-2-1)}^2+{(-11-5)}^2}$

$=\sqrt{{(-3)}^2+{(-16)}^2}$

$=\sqrt{9+256}=\sqrt{265}$ यूनिट

इन तीनों बिंदुओं को संरेखी होने के लिए नीचे लिखी शर्त का पूरा होना जरूरी है।

$AB+BC=AC$

AB, BC और AC का मान रखने पर

$\sqrt{5}+\sqrt{53}\ne \sqrt{265}$

इसलिए दिए गए बिंदु संरेखी नहीं हैं।

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प्रश्न 4: जाँच कीजिए कि क्या बिंदु (5, -2), (6, 4) और (7, -2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

उत्तर: मान लीजिए A = (5, -2), B = (6, 4) और C = (7, -2)

अब $AB=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

यहाँ पर, x₁ = 5, x₂ = 6, y₁ = -2 और y₂ = 4

इसलिए, $AB=\sqrt{{(6-5)}^2+{(4+2)}^2}$

$=\sqrt{1^2+6^2}$

$=\sqrt{1+36}=\sqrt{37}$ यूनिट

अब $BC=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

यहाँ पर, x₁ = 6, x₂ = 7, y₁ = 4 और y₂ = -2

इसलिए, $BC=\sqrt{{(7-6)}^2+{(-2-4)}^2}$

$=\sqrt{1^2+{(-6)}^2}=\sqrt{37}$ यूनिट

अब $AC=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

यहाँ पर, x₁ = 5, x₂ = 7, y₁ = -2 और y₂ = -2

इसलिए, $AC=\sqrt{{(7-5)}^2+{(-2+2)}^2}$

$=\sqrt{2^2+0^2}$

$=\sqrt{4}=2$ यूनिट

चूँकि दिए गये ΔABC में:
$AB=BC\ne AC$

इसलिए दिया गया त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

प्रश्न 5: किसी कक्षा में चार मित्र बिंदुओं A, B, C और D पर बैठे हुए हैं, जैसा कि दी गई आकृति में दर्शाया गया है। चंपा और चमेली कक्षा के अंदर आती हैं और कुछ मिनट तक देखने के बाद, चंपा चमेली से पूछती है, ‘क्या तुम नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है?` चमेली इससे सहमत नहीं है। दूरी सूत्र का प्रयोग करके बताइए कि इनमें कौन सही है।

उत्तर: यहाँ पर दिये गये को-ऑर्डिनेट हैं A (3, 4), B (6, 7), C (9, 4) और D (6, 1)

A (3, 4), B (6, 7), C (9, 4) और D (6, 1)

$AB=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

यहाँ पर, x₁ = 3, x₂ = 6, y₁ = 4 और y₂ = 7

इसलिए, $AB=\sqrt{{(6-3)}^2+{(7-4)}^2}$

$=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{9+9}$

$=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ यूनिट

$BC=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

यहाँ पर, x₁ = 6, x₂ = 9, y₁ = 7 और y₂ = 4

इसलिए, $BC=\sqrt{{(9-6)}^2+{(4-7)}^2}$

$=\sqrt{3^2+{(-3)}^2}=\sqrt{9+9}$

$=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ यूनिट

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$CD=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

यहाँ पर, x₁ = 9, x₂ = 6, y₁ = 4 और y₂ = 1

इसलिए, $CD=\sqrt{{(6-9)}^2+{(1-4)}^2}$

$=\sqrt{{(-3)}^2+{(-3)}^2}=\sqrt{9+9}$

$=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ यूनिट

$DA=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

यहाँ पर, x₁ = 6, x₂ = 3, y₁ = 1 और y₂ = 4

इसलिए, $DA=\sqrt{{(3-6)}^2+{(4-1)}^2}$

$=\sqrt{{(-3)}^2+3^2}=\sqrt{9+9}$

$=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ यूनिट

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अब हम विकर्णों का मान पता करते हैं।

$AC=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

यहाँ पर, x₁ = 3, x₂ = 9, y₁ = 4 और y₂ = 4

इसलिए, $AC=\sqrt{{(9-3)}^2+{(4-4)}^2}$

$=\sqrt{6^2+0^2}=\sqrt{36}=6$ यूनिट

$BD=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

यहाँ पर, x₁ = 6, x₂ = 6, y₁ = 1 और y₂ = 7

इसलिए, $BD=\sqrt{{(6-6)}^2+{(1-7)}^2}$

$=\sqrt{0^2+{(-6)}^2}=\sqrt{36}=6$ यूनिट

यहाँ पर, $AB=BC=CD=DA$ और $AC=BD$

चूँकि चारों भुजाएँ बराबर हैं और विकर्ण भी बराबर हैं, इसलिए यह साफ है कि ABCD एक वर्ग है। चम्पा सही कह रही है।