6.त्रिभुज 6.4

6.त्रिभुज

अभ्यास 6.4 Part 1

1. मान लीजिए ΔABC ≃ ΔDEF है और इनके क्षेत्रफल क्रमश: 64 $c{m}^2$ और 121 $c{m}^2$ हैं। यदि EF = 15.4 हो, तो BC ज्ञात कीजिए।

उत्तर: Δ ABC और Δ DEF में;

$\frac{ar\left(ABC\right)}{ar\left(DEF\right)}=\frac{B{C}^2}{E{F}^2}$

या $\frac{B{C}^2}{{15.4}^2}=\frac{64}{121}$

या $\frac{BC}{15.4}=\frac{8}{11}$

या $BC=11.2cm$

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2. एक समलंब ABCD जिसमें AB||DC है, के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि AB = 2CD हो तो त्रिभुजों AOB और COD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

उत्तर: त्रिभुज AOB और COD में;

∠ AOB = ∠ COD (सम्मुख कोण)

∠ OAC = ∠ OCD (एकांतर कोण)

इसलिए; Δ AOB ≃ Δ COD

इसलिए; $\frac{ar\left(AOB\right)}{ar\left(COD\right)}=\frac{A{B}^2}{C{D}^2}$

$=\frac{{\left(2CD\right)}^2}{C{D}^2}=\frac{4C{D}^2}{C{D}^2}=4:1$

3. दी गई आकृति में एक ही आधार BC पर दो त्रिभुज ABC और DBC बने हुए हैं। यदि AD, BC को O पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि ar(ABC)/ar(DBC) = AO/DO है।

उत्तर: सबसे पहले BC पर क्रमश: A और D से ऊँचाई AM और DN खींचिए।

$\frac{ar\left(ABC\right)}{ar\left(DBC\right)}=\frac{\frac{1}{2}\times BC\times AM}{\frac{1}{2}\times BC\times DN}=\frac{AM}{DN}$

ΔAMO और ΔDNO में;
∠ AMO = ∠ DNO (समकोण)
∠ AOM = ∠ DON (सम्मुख कोण)
इसलिए; ΔAMO ≃ ΔDNO

इसलिए; $\frac{AM}{DN}=\frac{AO}{DO}$

या $\frac{ar\left(ABC\right)}{ar\left(DBC\right)}=\frac{AO}{DO}$

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4. यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हों तो सिद्ध कीजिए कि वे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

उत्तर: समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुज ABC और PQR मान लेते हैं।

ऐसी स्थिति में; $\frac{ar\left(ABC\right)}{ar\left(PQR\right)}=\frac{1}{1}$

इस स्थिति में $\frac{A{B}^2}{P{Q}^2}=\frac{A{C}^2}{P{R}^2}=\frac{1}{1}$

या $\frac{AB}{PQ}=\frac{AC}{PQ}=1$

इसलिए दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं।

☆END☆