5.समांतर श्रेढ़ी 5.4

5.समांतर श्रेढ़ी

अभ्यास 5.4

प्रश्न 1: AP: 121, 117, 113, ……… का कौन सा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा?

उत्तर: दिया गया है; a = 121 और d = -4
पहला ऋणात्मक टर्म जीरो से कम होगा। हर टर्म को 4 से भाग देने पर शेष 1 आता है। इसलिए आखिरी धनात्मक पद का मान 5 होगा। अब an = 5 के लिये n का मान निकालते हैं।

$5=a+(n–1)d$
या, $121+(n–1)(-4)=5$
या, $121–4n+4=5$
या, $125–4n=5$
या, $4n=120$
या, $n=30$

इसलिए, $a_{31}=5–4=1$
इसलिए, 32 वां टर्म पहला ऋणात्मक टर्म होगा।

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प्रश्न 2: किसी AP के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है। इस AP के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

उत्तर: इस प्रश्न को निम्न तरीके से हल किया जा सकता है:
$a_3=a+2d$
a_7 = a + 6d`

प्रश्न के अनुसार;
$a_3+a_7=6$
या, $a+2d+a+6d=6$
या, $2a+8d=6$
या, $a+4d=3$
या, $a=3–4d$ ……. (1)

इसी प्रकार,
$(a+2d)(a+6d)=8$
या, $a^2+6ad+2ad+12d^2=8$

समीकरण (2) में a का मान रखने पर,
${(3–4d)}^2+8(3–4d)d+12d^2=8$
या, $9–24d+16d^2+24d–32d^2+12d^2=8$
या, $9–4d^2=8$
या, $4d^2=9–8=1$
या, $2d=1$
या, $d=\frac{1}{2}$

समीकरण (1) में d का मान रखने पर,
$a=3–4d$
या, $a=3–2=1$

पहले 16 टर्म के योग को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है:

$S=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

$=\frac{16}{2}(2\times 1+15\times \frac{1}{2})$
$=8(2+\frac{15}{2})$
$=8\times \frac{19}{2}=76$

प्रश्न 3: एक सीढ़ी के क्रमागत डंडे परस्पर 25 सेमी की दूरी पर हैं। डंडों की लंबाई एक समान रूप से घटती जाती है तथा सबसे निचले डंडे की लंबाई 45 सेमी है और सबसे ऊपर वाले डंडे की लंबाई 25 सेमी है। यदि ऊपरी और निचले डंडे के बीच की दूरी 2.5 मी है, तो डंडों को बनाने के लिए लकड़ी की कितनी लंबाई की आवश्यकता होगी?

उत्तर: डंडों की संख्या को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है:
$2.5\times 100cm÷25+1$
$=2.5\times 4+1$
$=10+1=11$

अब हमारे पास है; a = 25, a₁₁ = 45 और n = 11
इसलिए, d का मान निम्न तरीके से निकाला जा सकता है:
$a_{11}=a+10d$
या, $45=25+10d$
या, $10d=45–25=20$
या, $d=2$

अब, लकड़ी की कुल लंबाई 11 टर्म के योग के बराबर होगी।

$S=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

$=\frac{11}{2}(2\times 25+10\times 2)$
$=11(25+10)=11\times 35=385$ cm

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प्रश्न 4: एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से संख्या 1 से 49 तक अंकित किया गया है। दर्शाइए कि x का एक ऐसा मान है कि x से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के बराबर है। x का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया गया है, a = 1, d = 1 और a₄₉ = 49

प्रश्न के अनुसार;
$S_{x-1}=S_{49}-S_x$ ……….(1)

$S_x=\frac{x}{2}[2+(x–1)\times 1]$
$=\left(\frac{x}{2}\right)(x+1)$
$=\frac{x^2+x}{2}$

इसी प्रकार,
$S_{x-1}=\frac{x-1}{2}[2+(x–1–1)1]$
$=\frac{x–1}{2}[2+(x–2)]$
$=\frac{(x–2)x}{2}$
$=\frac{x^2-x}{2}$

इसी प्रकार,
$S_{49}=\frac{49}{2}(2+48\times 1)$
$=\frac{49}{2}\times 50=1225$

समीकरण (1) में S_{(x -1)}, S₄₉ और S_x का मान रखने पर;
$S_{x-1}=S_{49}-S_x$
या, $\frac{x^2-x}{2}=1225–\frac{x^2+1}{2}$
या, $\frac{x^2-x}{2}+\frac{x^2+x}{2}=1225$
या, $\frac{x^2-x+x^2+x}{2}=1225$
या, $\frac{2x^2}{2}=1225$
या, $x^2=1225$
या, $x=35$

प्रश्न 5: एक फुटबाल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है जिसमें 15 सीढ़ियाँ बनी हुई हैं। इन सीढ़ियों में से प्रत्येक की लंबाई 50 मी है और वह ठोस कंक्रीट की बनी है। प्रत्येक सीढ़ी में ¼ मी की चढ़ाई है और ½ मी का फैलाव है। इस चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन परिकलित कीजिए।

उत्तर: पहली सीढ़ी की माप = 50 m $\times$ 0.25 m $\times$ 0.5 m
पहली सीढ़ी का आयतन = 6.25 cubic m
दूसरी सीढ़ी की माप $=50m\times 0.5m\times 0.5m$
दूसरी सीढ़ी का आयतन = 12.5 cubic m
तीसरी सीढ़ी की माप = 50 m $\times$ 0.75 m $\times$ 0.5 m
तीसरी सीढ़ी का आयतन = 18.75 cubic m
इसलिए, a = 6.25, d = 6.25 और n = 15

15 टर्म के योग को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है:

$S=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

$=\frac{15}{2}(2\times 6.25+14\times 6.25)$
$=\frac{15}{2}\times 100=750$ cubic m

☆END☆