अभ्यास 3.6 Part 1

अभ्यास 3.6 Part 1

प्रश्न 1: निम्न समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल करके हल कीजिए:

(a)

1 2 x

+

1 3 y

=

2

12x+13y=2

और

1 3 x

+

1 2 y

=

13 6

13x+12y=136

उत्तर: पहला समीकरण:

1 2 x

+

1 3 y

=

2

12x+13y=2

या, 

3 y + 2 x 6 x y

=

2

3y+2x6xy=2

या, 

2

x

+

3

y

=

12

x

y

2x+3y=12xy

दूसरा समीकरण:

1 3 x

+

1 2 y

=

13 6

13x+12y=136

या, 

2 y + 3 x 6 x y

=

13 6

2y+3x6xy=136

या, 

6

( 3 x + 2 y )

=

13

×

6

x

y

6(3x+2y)=13×6xy

या, 

18

x

+

12

y

=

78

x

y

18x+12y=78xy

पहले समीकरण को 4 से गुना करने पर मिलने वाले समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाने पर;

18

x

+

12

y

–

8

x

–

12

y

=

78

x

y

–

48

x

y

18​x​+​12​y​–​8​x​–​12​y​=​78​x​y​–​48​x​y

या,

10

x

=

30

x

y

10x=30xy

या,

1

=

3

y

1=3y

या,

y

=

1

3

y=13

पहले समीकरण में x का मान रखने पर;

2

x

+

3

y

=

12

x

y

2x+3y=12xy

या, 

2

x

+

3

×

1 3

=

12

x

×

1 3

2x+3×13=12x×13

या, 

2

x

+

1

=

4

x

2x+1=4x

या, 

2

x

=

1

2x=1

या, 

x

=

1 2

x=12

इसलिए, 

x

=

1

2

x=12

 और 

y

=

1

3

y=13

(b)

2 √ x

+

3 √ y

=

2

2x+3y=2

और

4 √ x

−

9 √ y

=

−

1

4x-9y=-1

उत्तर: पहला समीकरण:

2 √ x

+

3 √ y

=

2

2x+3y=2

या, 

3 √ x + 2 √ y √ x y

=

2

3x+2yxy=2

या, 

3

√ x

+

2

√ y

=

2

√ x y

3x+2y=2xy

दूसरा समीकरण:

4 √ x

−

9 √ y

=

−

1

4x-9y=-1

या, 

( 4 √ y )

−

9

√ x

) √ x y

=

−

1

(4y)-9x)xy=-1

या, 

4

√ y

−

9

√ x

=

−

√ x y

4y-9x=-xy

या, 

9

√ x

−

4

√ y

=

√ x y

9x-4y=xy

पहले और दूसरे समीकरण से यह स्पष्ट है कि;

3

√ x

+

2

√ y

=

2

( 9 √ x − 4 √ y )

3x+2y=2(9x-4y)

या,

3

√ x

+

2

√ y

=

18

√ x

−

8

√ y

3x+2y=18x-8y

या,

3

√ x

+

2

√ y

+

8

√ y

=

18

√ x

3x+2y+8y=18x

या, 

10

√ y

=

15

√ x

10y=15x

या, 

√ x

=

10 15

√ y

=

2 3

√ y

x=1015y=23y

ऊपर के किसी भी समीकरण में

√ x x

का मान रखने पर;

3

√ x

+

2

√ y

=

2

√ x y

3x+2y=2xy

या,

3

×

2 3

√ y

+

2

√ y

=

2

×

2 3

×

√ y

×

√ y

3​×​2​3​y​+​2​y​=​2​×​2​3​×​y​×​y

या, 

2

√ y

+

2

√ y

=

4 3

y

2y+2y=43y

या, 

4

√ y

=

4 3

y

4y=43y

या, 

√ y

=

4

÷

4 3

=

3

y=4÷43=3

दूसरे समीकरण में

√ y y

का मान रखने पर;

9

√ x

−

4

√ y

=

√ x y

9x-4y=xy

या, 

9

√ x

−

4

×

3

=

3

√ x

9x-4×3=3x

या, 

9

√ x

−

3

√ x

=

12

9x-3x=12

या, 

6

√ x

=

12

6x=12

या, 

√ x

=

2

x=2

इसलिए, 

x

=

4

x=4

 और 

y

=

9

y=9

(c) 

4 x

+

3

y

=

14

4x+3y=14

 और 

3 x

−

4

y

=

23

3x-4y=23

उत्तर: पहला समीकरण:

4 x

+

3

y

=

14

4x+3y=14

या, 

4 + 3 x y x

=

14

4+3xyx=14

या, 

4

+

3

x

y

=

14

x

4+3xy=14x

या, 

4

+

3

x

y

−

14

x

=

0

4+3xy-14x=0

दूसरा समीकरण:

3 x

−

4

y

=

23

3x-4y=23

या, 

3 − 4 x y x

=

23

3-4xyx=23

या, 

3

−

4

x

y

=

23

x

3-4xy=23x

या, 

3

−

4

x

y

−

23

x

=

0

3-4xy-23x=0

पहले समीकरण को 4 से गुना करने पर, फिर दूसरे समीकरण को 3 से गुना करने पर मिलने वाले समीकरणों को जोड़ने पर;

16

+

12

 

x

 

y

 

–

56

 

x

+

9

−

12

 

x

 

y

−

69

 

x

=

0

16​+​12​x​y​–​56​x​+​9​-​12​x​y​-​69​x​=​0

या,

25

–

125

x

=

0

25–125x=0

या,

125

x

=

25

125x=25

या,

x

=

1 5

x=15

पहले समीकरण में x का मान रखने पर;

4

+

3

x

y

−

14

x

=

0

4+3xy-14x=0

या, 

4

+

3

×

1 5

y

−

14

×

1 5

=

0

4+3×15y-14×15=0

या, 

20 + 3 y − 14 5

=

0

20+3y-145=0

या, 

6

+

3

y

=

0

6+3y=0

या, 

3

y

=

−

6

3y=-6

या, 

y

=

−

6 3

=

−

2

y=-63=-2

इसलिए, 

x

=

1

5

x=15

 और 

y

=

−

2

y=-2

(d) 

5 x − 1

+

1 y − 2

=

2

5x-1+1y-2=2

 और

6 x − 1

−

3 y − 2

=

1

6x-1-3y-2=1

उत्तर: पहला समीकरण:

5 x − 1

+

1 y − 2

=

2

5x-1+1y-2=2

या,

5

( y − 2 )

+

x

−

1

( x − 1 )

( y − 2 )

=

2

5​(​y​-​2​)​+​x​-​1​(​x​-​1​)​(​y​-​2​)​=​2

या,

5

y

−

10

+

x

−

1

x

y

−

2

x

−

y

+

2

=

2

5​y​-​10​+​x​-​1​x​y​-​2​x​-​y​+​2​=​2

या,

x

+

5

y

−

11

=

2

x

y

−

4

x

−

2

y

+

4

x​+​5​y​-​11​=​2​x​y​-​4​x​-​2​y​+​4

या,

x

+

5

y

−

11

+

4

x

+

2

y

−

4

=

2

x

y

x​+​5​y​-​11​+​4​x​+​2​y​-​4​=​2​x​y

या, 

5

x

+

7

y

−

15

=

2

x

y

5x+7y-15=2xy

दूसरा समीकरण:

6 x − 1

−

3 y − 2

=

1

6x-1-3y-2=1

या,

6	y	−	12	−	3	x	+	3
x	y	−	2	x	−	y	+	2

=

1

6​y​-​12​-​3​x​+​3​x​y​-​2​x​-​y​+​2​=​1

या, 

6

y

−

3

x

−

9

=

x

y

−

2

x

−

y

+

2

6y-3x-9=xy-2x-y+2

या,

6

y

−

3

x

−

9

+

2

x

+

y

−

2

=

x

y

6​y​-​3​x​-​9​+​2​x​+​y​-​2​=​x​y

या, 

7

y

−

x

−

11

=

x

y

7y-x-11=xy

दूसरे समीकरण को 2 से गुना करके मिलने वाले समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर;

14

y

−

2

x

−

22

−

(

7

y

+

5

x

−

15

=

2

x

y

−

2

x

y

14​y​-​2​x​-​22​-​(​7​y​+​5​x​-​15​=​2​x​y​-​2​x​y

या,

14

y

−

2

x

−

22

−

7

y

−

5

x

+

15

=

0

14​y​-​2​x​-​22​-​7​y​-​5​x​+​15​=​0

या, 

7

y

−

7

x

−

7

=

0

7y-7x-7=0

या, 

y

−

x

−

1

=

0

y-x-1=0

या, 

y

=

x

+

1

y=x+1

पहले समीकरण में x का मान रखने पर;

5

x

+

7

y

–

15

=

2

x

y

5x+7y–15=2xy

या,

5

x

+

7

x

+

7

–

15

–

2

x

( x + 1 )

5​x​+​7​x​+​7​–​15​–​2​x​(​x​+​1​)

या,

12

x

–

8

=

2

x 2

+

2

x

12x–8=2x2+2x

या,

10

x

–

8

=

2

x 2

10x–8=2x2

या,

x 2

=

5

x

–

4

x2=5x–4

दूसरे समीकरण में y का मान रखने पर;

7

y

–

x

–

11

=

x

y

7y–x–11=xy

या,

7

x

+

7

–

x

–

11

=

x 2

+

1

7x+7–x–11=x2+1

या,

6

x

–

5

=

x 2

6x–5=x2

ऊपर के दोनों समीकरण से यह स्पष्ट है कि;

5

x

–

4

=

6

x

–

5

5x–4=6x–5

या,

5

x

+

1

=

6

x

5x+1=6x

या,

x

=

1

x=1

इसलिए, 

y

=

x

+

1

=

2

y=x+1=2

इसलिए,

x

=

1

x=1

 और 

y

=

2

y=2