3.4 Part 1

प्रश्न 1: निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए। कौन सी विधि अधिक उपयुक्त है?

(a) $x+y=5$ and $2x–3y=4$

उत्तर: विलोपन विधि

पहले समीकरण को 3 से गुना करो:
$3x–3y=15$

अब इस समीकरण में दूसरे समीकरण को जोड़ो।

$3x+3y+2x-3y=15+4$

या, $5x=19$

या,$x=\frac{19}{5}$

पहले समीकरण में x का मान रखने पर;

$x+y=5$

या, $\frac{19}{5}+y=5$

या, $y=5-\frac{19}{5}$

$=\frac{25-19}{5}=\frac{6}{5}$

इसलिए, $x=\frac{19}{5}$ और $y=\frac{6}{5}$

प्रतिस्थापन विधि:

पहले समीकरण का उपयोग करते हुए एक वैरियेबल को दूसरे वैरियेबल के रूप में रखने पर;
$x+y=5$
या, $x=5–y$

दूसरे समीकरण में x का मान रखने पर;
$2(5–y)–3y=4$
या, $10–2y–3y=4$
या, $5y=10–4=6$
या, $y=\frac{6}{5}$

पहले समीकरण में y का मान रखने पर;

$x+y=5$

या, $x+\frac{6}{5}=5$

या, $x=5-\frac{6}{5}$

$=\frac{25-6}{5}=\frac{19}{5}$

इसलिए, $x=\frac{19}{5}$ और $y=\frac{6}{5}$

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(b) $3x+4y=10$ and $2x–2y=2$

उत्तर: विलोपन विधि:

दूसरे समीकरण को 2 से गुना करने पर;
$4x–4y=4$

इस समीकरण को पहले समीकरण से जोड़ने पर;
$4x–4y+3x+4y=4+10$
या, $7x=14$
या, $x=2$

पहले समीकरण में x का मान रखने पर;
$3x+4y=10$
या, $3\times 2+4y=10$
या, $6+4y=10$
या, $4y=10–6=4$
या, $y=1$
इसलिए, $x=2$ और $y=1$

प्रतिस्थापन विधि:

दूसरे समीकरण का उपयोग करते हुए एक वैरियेबल को दूसरे वैरियेबल के रूप में रखने पर;
$2x–2y=2$
या, $2x=2y+2$
या, $x=y+1$

पहले समीकरण में x का मान रखने पर;
$3x+4y=10$
या, $3(y+1)+4y=10$
या, $3y+3+4y=10$
या, $7y+3=10$
या, $7y=10–3=7$
या, $y=1$

दूसरे समीकरण में y का मान रखने पर;
$x=y+1$
या, $x=1+1=2$
इसलिए, $x=2$ और $y=1$

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(c) $3x–5y–4=0$ and $9x=2y+7$

उत्तर: विलोपन विधि

पहले समीकरण को 3 से गुना करने पर
$9x–15y=12$

इस समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाने पर;
$(9x–15y)–(9x–2y)=12–7$
या, $9x–15y–9x+2y=5$
या, $-13y=5$
या, $y-\frac{-5}{13}$

पहले समीकरण में y का मान रखने पर;

$3x-5y=4$

या, $3x+5\times \frac{5}{13}=4$

या, $3x+\frac{25}{13}=4$

या, $3x=4-\frac{25}{13}$

$=\frac{52-25}{13}=\frac{27}{13}$

या, $x=\frac{27}{13\times 3}=\frac{9}{13}$

इसलिए, $x=\frac{9}{13}$ और $y=-\frac{5}{13}$

प्रतिस्थापन विधि:

पहले समीकरण का उपयोग करते हुए एक वैरियेबल को दूसरे वैरियेबल के रूप में रखने पर;

$3x-5y=4$

या, $3x=5y+4$

या, $x=\frac{5y+4}{3}$

$9x-2y=7$

या, $9\left(\frac{5y+4}{3}\right)-2y=4$

या, $15y+12-2y=7$

या, $13y+12=7$

या, $13y=7-12=-5$

या, $y=-\frac{5}{13}$

पहले समीकरण में y का मान अखने पर

$x=\frac{5y+4}{3}$

या, $x=\frac{5\times -\frac{5}{13}+4}{3}$

$=\frac{-\frac{25}{13}+4}{3}$

$=\frac{\frac{-25+52}{13}}{3}=\frac{27}{39}=\frac{9}{13}$

इसलिए, $x=\frac{9}{13}$ और $y=-\frac{5}{13}$

(d) $\frac{x}{2}+\frac{2y}{3}=-1$ और $x-\frac{y}{3}=3$

उत्तर: विलोपन विधि;
समीकरण 1:

$\frac{x}{2}+\frac{2y}{3}=-1$

या, $\frac{3x+4y}{6}=-1$

या, $3x+4y=-6$

समीकरण 2:

$x-\frac{y}{3}=3$

या, $\frac{3x-y}{3}=3$

या, $3x-y=9$

पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाने पर;

$3x+4y-(3x-y)=-6-9$

या, $3x+4y-3x+y=-15$

या, $5y=-15$

या, $y=-3$

दूसरे समीकरण में y का मान रखने पर;
$3x–y=9$
या, $3x+3=9$
या, $3x=9–3=6$
या, $x=2$
इसलिए, $x=2$ और $y=-3$

प्रतिस्थापन विधि;

दूसरे समीकरण का उपयोग करते हुए एक वैरियेबल को दूसरे वैरियेबल के रूप में रखने पर;
$3x–y=9$
या, $y=3x–9$

पहले समीकरण में y का मान रखने पर;
$3x+4y=-6$
या, $3x+4(3x–9)=-6$
या, $3x+12x–36=-6$
या, $15x–36=-6$
या, $15x=-6+36=30$
या, $x=2$

दूसरे समीकरण में x का मान रखने पर;
$y=3x–9$
या, $y=3x2–9$
$=6–9=-3$
इसलिए, $x=2$ और $y=-3$