Class 10th MATH

निर्देशांक ज्यामिति

अभ्यास 7.1 Part 4

प्रश्न 6: निम्नलिखित बिंदुओं द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार (यदि कोई है तो) बताइए तथा अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए:

(a) (-1, -2), (1, 0), (-1, 2), (-3, 0)

उत्तर: मान लीजिए A = (-1, -2), B = (1, 0), C = (-1, 2) और D = (-3,0)

$AB=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

यहाँ पर, x₁ = -1, x₂ = 1, y₁ = -2 और y₂ = 0

इसलिए, $AB=\sqrt{{(1+1)}^2+{(0+2)}^2}$

$=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}$

$=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ यूनिट

$BC=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

यहाँ पर, x₁ = 1, x₂ = -1, y₁ = 0 और y₂ = 2

इसलिए, $BC=\sqrt{{(-1-1)}^2+{(2-0)}^2}$

$=\sqrt{{(-2)}^2+2^2}=\sqrt{4+4}$

$=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ यूनिट

$CD=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

यहाँ पर, x₁ = -1, x₂ = -3, y₁ = 2 और y₂ = 0

इसलिए, $CD=\sqrt{{(-3+1)}^2+{(0-2)}^2}$

$=\sqrt{{(-2)}^2+{(-2)}^2}=\sqrt{4+4}$
$=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ यूनिट

$AD=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

यहाँ पर, x₁ = -1, x₂ = -3, y₁ = -2 और y₂ = 0

इसलिए, $AD=\sqrt{{(-3+1)}^2+{(0+2)}^2}$

$=\sqrt{{(-2)}^2+2^2}=\sqrt{4+4}$
$=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ यूनिट

अब हम विकर्णों का मान निकालते हैं।

$AC=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

यहाँ पर, x₁ = -1, x₂ = -1, y₁ = -2 और y₂ = 2

So, $AC=\sqrt{{(-1+1)}^2+{(2+2)}^2}$

$=\sqrt{0^2+4^2}=\sqrt{16}=4$ यूनिट

$BD=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

यहाँ पर, x₁ = 1, x₂ = -3, y₁ = 0 और y₂ = 0

इसलिए, $BD=\sqrt{{(-3-1)}^2+{(0-0)}^2}$

$=\sqrt{{(-4)}^2+0^2}=\sqrt{16}=4$ यूनिट

यहाँ पर, $AB=BC=CD=AD$ और $AC=BD$
चूँकि चारों भुजाएँ बराबर हैं और विकर्ण भी बराबर हैं, इसलिए दिया गया चतुर्भुज एक वर्ग है।

(b) (-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, -4)

उत्तर: मान लीजिए A = (-3, 5), B = (3, 1), C = (0, 3) और = (-1,-4)

$AB=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

यहाँ पर, x₁ = -3, x₂ = 3, y₁ = 5 और y₂ = 1

इसलिए, $AB=\sqrt{{(3+3)}^2+{(1-5)}^2}$

$=\sqrt{6^2+{(-4)}^2}$

$=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}$ यूनिट

$BC=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

यहाँ पर, x₁ = 3, x₂ = 0, y₁ = 1 और y₂ = 3

इसलिए, $BC=\sqrt{{(0-3)}^2+{(3-1)}^2}$

$=\sqrt{{(-3)}^2+2^2}=\sqrt{9+4}$

$=\sqrt{13}$ यूनिट

$CD=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

यहाँ पर, x₁ = 0, x₂ = -1, y₁ = 3 और y₂ = -4

इसलिए, $CD=\sqrt{{(-1-0)}^2+{(-4-3)}^2}$

$=\sqrt{{(-1)}^2+{(-7)}^2}=\sqrt{1+49}$

$=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ यूनिट

$AD=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

यहाँ पर, x₁ = -3, x₂ = -1, y₁ = 5 और y₂ = -4

इसलिए, $AD=\sqrt{{(-1+3)}^2+{(-4-5)}^2}$

$=\sqrt{2^2+{(-9)}^2}=\sqrt{4+81}$

$=\sqrt{85}$ यूनिट

यहाँ, $AC\ne BC\ne CD\ne DA$

चूँकि कोई भी भुजा बराबर नहीं है, इसलिए दिया गया चतुर्भुज एक सामान्य चतुर्भुज है।

---

(c) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)

उत्तर: मान लीजिए A = (4, 5), B = (7, 6), C = (4, 3) और D = (1, 2)

$AB=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

यहाँ पर, x₁ = -3, x₂ = 4, y₁ = 5 और y₂ = 6

इसलिए, $AB=\sqrt{{(7-4)}^2+{(6-5)}^2}$
$=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$ यूनिट

$BC=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

यहाँ पर, x₁ = 7, x₂ = 4, y₁ = 6 और y₂ = 3

So, $BC=\sqrt{{(4-7)}^2+{(3-6)}^2}$

$=\sqrt{{(-3)}^2+{(-3)}^2}=\sqrt{9+9}$

$=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ यूनिट

$CD=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

यहाँ पर, x₁ = 4, x₂ = 1, y₁ = 3 और y₂ = 2

इसलिए, $CD=\sqrt{{(1-4)}^2+{(2-3)}^2}$

$=\sqrt{{(-3)}^2+{(-1)}^2}=\sqrt{9+1}$

$=\sqrt{10}$ यूनिट

$AD=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

यहाँ पर, x₁ = 4, x₂ = 1, y₁ = 5 और y₂ = 2

इसलिए, $AD=\sqrt{{(1-4)}^2+{(2-5)}^2}$

$=\sqrt{{(-3)}^2+{(-3)}^2}=\sqrt{9+9}$

$=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ यूनिट

अब हम विकर्णों का मान निकालेंगे।

$AC=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

यहाँ पर, x₁ = 4, x₂ = 4, y₁ = 5 और y₂ = 3

इसलिए, $AC=\sqrt{{(4-4)}^2+{(3-5)}^2}$

$=\sqrt{0^2+{(-2)}^2}=\sqrt{4}=2$ यूनिट

$BD=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

यहाँ पर, x₁ = 7, x₂ = 1, y₁ = 6 और y₂ = 2

इसलिए, $BD=\sqrt{{(1-7)}^2+{(2-6)}^2}$

$=\sqrt{{(-6)}^2+{(-4)}^2}=\sqrt{36+16}$

$=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ यूनिट

यहाँ पर, $AB=CD=\sqrt{10}$ यूनिट और $BC=AD=3\sqrt{2}$ यूनिट।

विकर्णों का मान, $AC=2$ यूनिट और $BD=2\sqrt{13}$यूनिट

यहाँ सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं लेकिन विकर्ण बराबर नहीं हैं, इसलिए दिए गये बिंदुओं से एक समांतर चतुर्भुज बन रहा है।

प्रश्न 7: x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो (2, -5) और (-2, 9) से समदूरस्थ है।

उत्तर: मान लीजिए कि दिए गये निर्देशांक हैं A(2, –5), BC (–2, 9) और बिंदु P(x, 0) x-अक्ष पर है।

चूंकि बिंदु P दिए गये निर्देशांकों से बराबर दूरी पर है।

इसलिए AP = BP

$AP=\sqrt{{(x_2-x_2)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

यहाँ पर, x₁ = 2, x₂ = x, y₁ = -5 और y₂ = 0

इसलिए, $AP=\sqrt{{(x-2)}^2+{(0+5)}^2}$

$=\sqrt{x^2+4-4x+25}$

$=\sqrt{x^2-4x+29}$

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$BP=\sqrt{{(x_2-x_2)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

यहाँ पर, x₁ = -2, x₂ = x, y₁ = 9 और y₂ = 0

इसलिए, $BP=\sqrt{{(x+2)}^2+{(0-9)}^2}$

$=\sqrt{x^2+4+4x+81}$

$=\sqrt{x^2+4x+85}$

अब, चूँकि $AP=BP$

इसलिए, $\sqrt{x^2-4x+29}=\sqrt{x^2+4x+85}$

दोनों तरफ वर्ग करने पर हमें निम्नलिखित समीकरण मिलता है:

$x^2-4x+29=x^2+4x+85$

Or, $-4x+29=4x+85$

Or, $-8x+29=85$

Or, $-8x=85-29=56$

Or, $-x=\frac{56}{8}=7$

Or, $x=-7$

इसलिए, अभीष्ट बिंदु = (-7, 0)

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प्रश्न 8: y का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए बिंदु P(2, -3) और Q(10, y) के बीच की दूरी 10 मात्रक है।

उत्तर: दिया गया है, P(2, –3) और Q(10, y) और QP = 10 यूनिट

$PQ=\sqrt{{(x_2-x_2)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

यहाँ पर, x₁ = 2, x₂ = 10, y₁ = -3 और y₂ = y

इसलिए, $PQ=\sqrt{{(10-2)}^2+{(y+3)}^2}$
या $10=\sqrt{8^2+{(y+3)}^2}$
या $10=\sqrt{64+y^2+9+6y}$

दोनों तरफ वर्ग करने पर हमें निम्नलिखित समीकरण मिलता है;

${10}^2=64+9+y^2+6y$
या, $100=73+y^2+6y$
या, $y^2+6y=100-73=27$
या, $y^2+6y-27=0$
या, $y^2+9y-3y-27=0$
या, $y(y+9)-3(y+9)=0$
या, $(y-3)(y+9)=0$

इसलिए, यदि $y-3=0$ तब $y=3$
और यदि $y+9=0$
तब $y=-9$

इसलिए, अभीष्ट मान = 3 या – 9